Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57683 / 84531
↖ ↑ ↗
← S 46.170321°
W 21.568909°		 ← 211.47 m → S 46.170321°
W 21.566162°		 →
↑
211.45 m
↓
↑
211.45 m
↓
S 46.172223°
W 21.568909°		 ← 211.46 m →
44 715 m²		 S 46.172223°
W 21.566162°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57683 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84531 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440090179443359 y=0.644924163818359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440090179443359 × 217)
    floor (0.440090179443359 × 131072)
    floor (57683.5)     		tx = 57683
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.644924163818359 × 217)
    floor (0.644924163818359 × 131072)
    floor (84531.5)     		ty = 84531
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57683 / 84531 ti = "17/57683/84531"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57683/84531.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57683 ÷ 217
    57683 ÷ 131072     		x = 0.440086364746094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84531 ÷ 217
    84531 ÷ 131072     		y = 0.644920349121094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440086364746094 × 2 - 1) × π
    -0.119827270507812 × 3.1415926535     		Λ = -0.37644847
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.644920349121094 × 2 - 1) × π
    -0.289840698242188 × 3.1415926535     		Φ = -0.910561408282967
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37644847} λ = -0.37644847}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.910561408282967))-π/2
    2×atan(0.402298307021943)-π/2
    2×0.382486104707716-π/2
    0.764972209415433-1.57079632675     		φ = -0.80582412
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37644847} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.568909°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80582412 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.170321°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57683 KachelY 84531 -0.37644847 -0.80582412 -21.568909 -46.170321
    Oben rechts KachelX + 1 57684 KachelY 84531 -0.37640054 -0.80582412 -21.566162 -46.170321
    Unten links KachelX 57683 KachelY + 1 84532 -0.37644847 -0.80585731 -21.568909 -46.172223
    Unten rechts KachelX + 1 57684 KachelY + 1 84532 -0.37640054 -0.80585731 -21.566162 -46.172223
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80582412--0.80585731) × R
    3.31900000000163e-05 × 6371000     		dl = 211.453490000104m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80582412--0.80585731) × R
    3.31900000000163e-05 × 6371000     		dr = 211.453490000104m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37644847--0.37640054) × cos(-0.80582412) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.692516948768106 × 6371000     		do = 211.468381285119m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37644847--0.37640054) × cos(-0.80585731) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.692493005067411 × 6371000     		du = 211.46106978807m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80582412)-sin(-0.80585731))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.692516948768106-0.692493005067411)×R²
    abs(-0.37640054--0.37644847)×2.39437006950283e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.39437006950283e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.39437006950283e-05×40589641000000     		ar = 44714.9542308782m²