Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57682 / 38286
↖ ↑ ↗
← N 59.692699°
W 21.571655°		 ← 154.13 m → N 59.692699°
W 21.568909°		 →
↑
154.11 m
↓
↑
154.11 m
↓
N 59.691313°
W 21.571655°		 ← 154.14 m →
23 754 m²		 N 59.691313°
W 21.568909°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57682 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38286 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440082550048828 y=0.292102813720703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440082550048828 × 217)
    floor (0.440082550048828 × 131072)
    floor (57682.5)     		tx = 57682
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.292102813720703 × 217)
    floor (0.292102813720703 × 131072)
    floor (38286.5)     		ty = 38286
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57682 / 38286 ti = "17/57682/38286"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57682/38286.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57682 ÷ 217
    57682 ÷ 131072     		x = 0.440078735351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38286 ÷ 217
    38286 ÷ 131072     		y = 0.292098999023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440078735351562 × 2 - 1) × π
    -0.119842529296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.37649641
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.292098999023438 × 2 - 1) × π
    0.415802001953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.30628051464653
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37649641} λ = -0.37649641}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.30628051464653))-π/2
    2×atan(3.69241425827691)-π/2
    2×1.30631522656048-π/2
    2.61263045312096-1.57079632675     		φ = 1.04183413
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37649641} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.571655°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04183413 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.692699°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57682 KachelY 38286 -0.37649641 1.04183413 -21.571655 59.692699
    Oben rechts KachelX + 1 57683 KachelY 38286 -0.37644847 1.04183413 -21.568909 59.692699
    Unten links KachelX 57682 KachelY + 1 38287 -0.37649641 1.04180994 -21.571655 59.691313
    Unten rechts KachelX + 1 57683 KachelY + 1 38287 -0.37644847 1.04180994 -21.568909 59.691313
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04183413-1.04180994) × R
    2.41899999999795e-05 × 6371000     		dl = 154.114489999869m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04183413-1.04180994) × R
    2.41899999999795e-05 × 6371000     		dr = 154.114489999869m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37649641--0.37644847) × cos(1.04183413) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.504637645183764 × 6371000     		do = 154.129326212186m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37649641--0.37644847) × cos(1.04180994) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.504658529019051 × 6371000     		du = 154.135704673032m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04183413)-sin(1.04180994))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.504637645183764-0.504658529019051)×R²
    abs(-0.37644847--0.37649641)×2.08838352871998e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.08838352871998e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.08838352871998e-05×40589641000000     		ar = 23754.0540108963m²