Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 57679 / 85745
↖ ↑ ↗
← S 48.431023°
W 21.579895°		 ← 202.66 m → S 48.431023°
W 21.577148°		 →
↑
202.66 m
↓
↑
202.66 m
↓
S 48.432845°
W 21.579895°		 ← 202.65 m →
41 070 m²		 S 48.432845°
W 21.577148°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57679 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85745 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440059661865234 y=0.654186248779297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440059661865234 × 217)
    floor (0.440059661865234 × 131072)
    floor (57679.5)     		tx = 57679
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.654186248779297 × 217)
    floor (0.654186248779297 × 131072)
    floor (85745.5)     		ty = 85745
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57679 / 85745 ti = "17/57679/85745"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57679/85745.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57679 ÷ 217
    57679 ÷ 131072     		x = 0.440055847167969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85745 ÷ 217
    85745 ÷ 131072     		y = 0.654182434082031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440055847167969 × 2 - 1) × π
    -0.119888305664062 × 3.1415926535     		Λ = -0.37664022
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.654182434082031 × 2 - 1) × π
    -0.308364868164062 × 3.1415926535     		Φ = -0.968756804421715
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37664022} λ = -0.37664022}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.968756804421715))-π/2
    2×atan(0.379554605524703)-π/2
    2×0.362757757644782-π/2
    0.725515515289565-1.57079632675     		φ = -0.84528081
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37664022} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.579895°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84528081 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.431023°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57679 KachelY 85745 -0.37664022 -0.84528081 -21.579895 -48.431023
    Oben rechts KachelX + 1 57680 KachelY 85745 -0.37659228 -0.84528081 -21.577148 -48.431023
    Unten links KachelX 57679 KachelY + 1 85746 -0.37664022 -0.84531262 -21.579895 -48.432845
    Unten rechts KachelX + 1 57680 KachelY + 1 85746 -0.37659228 -0.84531262 -21.577148 -48.432845
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84528081--0.84531262) × R
    3.18099999999655e-05 × 6371000     		dl = 202.66150999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84528081--0.84531262) × R
    3.18099999999655e-05 × 6371000     		dr = 202.66150999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37664022--0.37659228) × cos(-0.84528081) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.663521218552624 × 6371000     		do = 202.656459182239m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37664022--0.37659228) × cos(-0.84531262) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.663497419327964 × 6371000     		du = 202.649190286435m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84528081)-sin(-0.84531262))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.663521218552624-0.663497419327964)×R²
    abs(-0.37659228--0.37664022)×2.37992246602259e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.37992246602259e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.37992246602259e-05×40589641000000     		ar = 41069.9274698517m²