Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57677 / 86283
↖ ↑ ↗
← S 49.402037°
W 21.585388°		 ← 198.71 m → S 49.402037°
W 21.582642°		 →
↑
198.71 m
↓
↑
198.71 m
↓
S 49.403824°
W 21.585388°		 ← 198.71 m →
39 486 m²		 S 49.403824°
W 21.582642°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57677 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86283 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440044403076172 y=0.658290863037109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440044403076172 × 217)
    floor (0.440044403076172 × 131072)
    floor (57677.5)     		tx = 57677
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.658290863037109 × 217)
    floor (0.658290863037109 × 131072)
    floor (86283.5)     		ty = 86283
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57677 / 86283 ti = "17/57677/86283"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57677/86283.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57677 ÷ 217
    57677 ÷ 131072     		x = 0.440040588378906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86283 ÷ 217
    86283 ÷ 131072     		y = 0.658287048339844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440040588378906 × 2 - 1) × π
    -0.119918823242188 × 3.1415926535     		Λ = -0.37673609
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.658287048339844 × 2 - 1) × π
    -0.316574096679688 × 3.1415926535     		Φ = -0.994546856417305
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37673609} λ = -0.37673609}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.994546856417305))-π/2
    2×atan(0.369891020315401)-π/2
    2×0.35428405884585-π/2
    0.7085681176917-1.57079632675     		φ = -0.86222821
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37673609} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.585388°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86222821 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.402037°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57677 KachelY 86283 -0.37673609 -0.86222821 -21.585388 -49.402037
    Oben rechts KachelX + 1 57678 KachelY 86283 -0.37668816 -0.86222821 -21.582642 -49.402037
    Unten links KachelX 57677 KachelY + 1 86284 -0.37673609 -0.86225940 -21.585388 -49.403824
    Unten rechts KachelX + 1 57678 KachelY + 1 86284 -0.37668816 -0.86225940 -21.582642 -49.403824
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86222821--0.86225940) × R
    3.11899999999588e-05 × 6371000     		dl = 198.711489999737m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86222821--0.86225940) × R
    3.11899999999588e-05 × 6371000     		dr = 198.711489999737m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37673609--0.37668816) × cos(-0.86222821) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.65074721753512 × 6371000     		do = 198.713491363498m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37673609--0.37668816) × cos(-0.86225940) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.65072353482476 × 6371000     		du = 198.706259562986m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86222821)-sin(-0.86225940))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.65074721753512-0.65072353482476)×R²
    abs(-0.37668816--0.37673609)×2.36827103601289e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.36827103601289e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.36827103601289e-05×40589641000000     		ar = 39485.9354341844m²