Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 57677 / 84690
↖ ↑ ↗
← S 46.471916°
W 21.585388°		 ← 210.31 m → S 46.471916°
W 21.582642°		 →
↑
210.31 m
↓
↑
210.31 m
↓
S 46.473808°
W 21.585388°		 ← 210.30 m →
44 228 m²		 S 46.473808°
W 21.582642°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57677 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84690 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440044403076172 y=0.646137237548828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440044403076172 × 217)
    floor (0.440044403076172 × 131072)
    floor (57677.5)     		tx = 57677
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.646137237548828 × 217)
    floor (0.646137237548828 × 131072)
    floor (84690.5)     		ty = 84690
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57677 / 84690 ti = "17/57677/84690"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57677/84690.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57677 ÷ 217
    57677 ÷ 131072     		x = 0.440040588378906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84690 ÷ 217
    84690 ÷ 131072     		y = 0.646133422851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440040588378906 × 2 - 1) × π
    -0.119918823242188 × 3.1415926535     		Λ = -0.37673609
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.646133422851562 × 2 - 1) × π
    -0.292266845703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.918183375322556
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37673609} λ = -0.37673609}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.918183375322556))-π/2
    2×atan(0.399243658588722)-π/2
    2×0.379854188651246-π/2
    0.759708377302493-1.57079632675     		φ = -0.81108795
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37673609} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.585388°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81108795 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.471916°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57677 KachelY 84690 -0.37673609 -0.81108795 -21.585388 -46.471916
    Oben rechts KachelX + 1 57678 KachelY 84690 -0.37668816 -0.81108795 -21.582642 -46.471916
    Unten links KachelX 57677 KachelY + 1 84691 -0.37673609 -0.81112096 -21.585388 -46.473808
    Unten rechts KachelX + 1 57678 KachelY + 1 84691 -0.37668816 -0.81112096 -21.582642 -46.473808
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81108795--0.81112096) × R
    3.301e-05 × 6371000     		dl = 210.30671m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81108795--0.81112096) × R
    3.301e-05 × 6371000     		dr = 210.30671m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37673609--0.37668816) × cos(-0.81108795) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.688710036818571 × 6371000     		do = 210.305894924422m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37673609--0.37668816) × cos(-0.81112096) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.688686102975758 × 6371000     		du = 210.298586437595m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81108795)-sin(-0.81112096))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.688710036818571-0.688686102975758)×R²
    abs(-0.37668816--0.37673609)×2.3933842812518e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.3933842812518e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.3933842812518e-05×40589641000000     		ar = 44227.9723471916m²