Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57676 / 86253
↖ ↑ ↗
← S 49.348388°
W 21.588135°		 ← 198.97 m → S 49.348388°
W 21.585388°		 →
↑
198.97 m
↓
↑
198.97 m
↓
S 49.350177°
W 21.588135°		 ← 198.96 m →
39 588 m²		 S 49.350177°
W 21.585388°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57676 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86253 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440036773681641 y=0.658061981201172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440036773681641 × 217)
    floor (0.440036773681641 × 131072)
    floor (57676.5)     		tx = 57676
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.658061981201172 × 217)
    floor (0.658061981201172 × 131072)
    floor (86253.5)     		ty = 86253
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57676 / 86253 ti = "17/57676/86253"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57676/86253.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57676 ÷ 217
    57676 ÷ 131072     		x = 0.440032958984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86253 ÷ 217
    86253 ÷ 131072     		y = 0.658058166503906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440032958984375 × 2 - 1) × π
    -0.11993408203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.37678403
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.658058166503906 × 2 - 1) × π
    -0.316116333007812 × 3.1415926535     		Φ = -0.993108749428703
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37678403} λ = -0.37678403}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.993108749428703))-π/2
    2×atan(0.370423345855533)-π/2
    2×0.354752236404597-π/2
    0.709504472809194-1.57079632675     		φ = -0.86129185
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37678403} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.588135°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86129185 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.348388°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57676 KachelY 86253 -0.37678403 -0.86129185 -21.588135 -49.348388
    Oben rechts KachelX + 1 57677 KachelY 86253 -0.37673609 -0.86129185 -21.585388 -49.348388
    Unten links KachelX 57676 KachelY + 1 86254 -0.37678403 -0.86132308 -21.588135 -49.350177
    Unten rechts KachelX + 1 57677 KachelY + 1 86254 -0.37673609 -0.86132308 -21.585388 -49.350177
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86129185--0.86132308) × R
    3.12300000000487e-05 × 6371000     		dl = 198.96633000031m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86129185--0.86132308) × R
    3.12300000000487e-05 × 6371000     		dr = 198.96633000031m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37678403--0.37673609) × cos(-0.86129185) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.651457905102808 × 6371000     		do = 198.972012744744m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37678403--0.37673609) × cos(-0.86132308) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.651434211059393 × 6371000     		du = 198.964775974001m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86129185)-sin(-0.86132308))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.651457905102808-0.651434211059393)×R²
    abs(-0.37673609--0.37678403)×2.36940434141797e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.36940434141797e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.36940434141797e-05×40589641000000     		ar = 39588.0112147773m²