Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57676 / 84284
↖ ↑ ↗
← S 45.698506°
W 21.588135°		 ← 213.32 m → S 45.698506°
W 21.585388°		 →
↑
213.30 m
↓
↑
213.30 m
↓
S 45.700425°
W 21.588135°		 ← 213.31 m →
45 501 m²		 S 45.700425°
W 21.585388°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57676 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84284 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440036773681641 y=0.643039703369141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440036773681641 × 217)
    floor (0.440036773681641 × 131072)
    floor (57676.5)     		tx = 57676
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.643039703369141 × 217)
    floor (0.643039703369141 × 131072)
    floor (84284.5)     		ty = 84284
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57676 / 84284 ti = "17/57676/84284"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57676/84284.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57676 ÷ 217
    57676 ÷ 131072     		x = 0.440032958984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84284 ÷ 217
    84284 ÷ 131072     		y = 0.643035888671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440032958984375 × 2 - 1) × π
    -0.11993408203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.37678403
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.643035888671875 × 2 - 1) × π
    -0.28607177734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.898720994076813
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37678403} λ = -0.37678403}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.898720994076813))-π/2
    2×atan(0.407089997430156)-π/2
    2×0.386603461809296-π/2
    0.773206923618591-1.57079632675     		φ = -0.79758940
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37678403} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.588135°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79758940 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.698506°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57676 KachelY 84284 -0.37678403 -0.79758940 -21.588135 -45.698506
    Oben rechts KachelX + 1 57677 KachelY 84284 -0.37673609 -0.79758940 -21.585388 -45.698506
    Unten links KachelX 57676 KachelY + 1 84285 -0.37678403 -0.79762288 -21.588135 -45.700425
    Unten rechts KachelX + 1 57677 KachelY + 1 84285 -0.37673609 -0.79762288 -21.585388 -45.700425
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79758940--0.79762288) × R
    3.34800000000302e-05 × 6371000     		dl = 213.301080000192m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79758940--0.79762288) × R
    3.34800000000302e-05 × 6371000     		dr = 213.301080000192m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37678403--0.37673609) × cos(-0.79758940) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.698433941987401 × 6371000     		do = 213.319703572479m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37678403--0.37673609) × cos(-0.79762288) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.698409980812799 × 6371000     		du = 213.312385212995m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79758940)-sin(-0.79762288))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.698433941987401-0.698409980812799)×R²
    abs(-0.37673609--0.37678403)×2.39611746023494e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39611746023494e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39611746023494e-05×40589641000000     		ar = 45500.5426546434m²