Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57676 / 38310
↖ ↑ ↗
← N 59.659417°
W 21.588135°		 ← 154.28 m → N 59.659417°
W 21.585388°		 →
↑
154.31 m
↓
↑
154.31 m
↓
N 59.658030°
W 21.588135°		 ← 154.29 m →
23 807 m²		 N 59.658030°
W 21.585388°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57676 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38310 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440036773681641 y=0.292285919189453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440036773681641 × 217)
    floor (0.440036773681641 × 131072)
    floor (57676.5)     		tx = 57676
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.292285919189453 × 217)
    floor (0.292285919189453 × 131072)
    floor (38310.5)     		ty = 38310
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57676 / 38310 ti = "17/57676/38310"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57676/38310.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57676 ÷ 217
    57676 ÷ 131072     		x = 0.440032958984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38310 ÷ 217
    38310 ÷ 131072     		y = 0.292282104492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440032958984375 × 2 - 1) × π
    -0.11993408203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.37678403
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.292282104492188 × 2 - 1) × π
    0.415435791015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.30513002905565
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37678403} λ = -0.37678403}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.30513002905565))-π/2
    2×atan(3.68816863161165)-π/2
    2×1.30602479319266-π/2
    2.61204958638532-1.57079632675     		φ = 1.04125326
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37678403} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.588135°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04125326 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.659417°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57676 KachelY 38310 -0.37678403 1.04125326 -21.588135 59.659417
    Oben rechts KachelX + 1 57677 KachelY 38310 -0.37673609 1.04125326 -21.585388 59.659417
    Unten links KachelX 57676 KachelY + 1 38311 -0.37678403 1.04122904 -21.588135 59.658030
    Unten rechts KachelX + 1 57677 KachelY + 1 38311 -0.37673609 1.04122904 -21.585388 59.658030
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04125326-1.04122904) × R
    2.42200000000192e-05 × 6371000     		dl = 154.305620000123m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04125326-1.04122904) × R
    2.42200000000192e-05 × 6371000     		dr = 154.305620000123m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37678403--0.37673609) × cos(1.04125326) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.505139043243815 × 6371000     		do = 154.282466085533m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37678403--0.37673609) × cos(1.04122904) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.505159945875418 × 6371000     		du = 154.288850287258m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04125326)-sin(1.04122904))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.505139043243815-0.505159945875418)×R²
    abs(-0.37673609--0.37678403)×2.09026316028149e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.09026316028149e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.09026316028149e-05×40589641000000     		ar = 23807.1441447419m²