Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57675 / 86251
↖ ↑ ↗
← S 49.344809°
W 21.590881°		 ← 198.99 m → S 49.344809°
W 21.588135°		 →
↑
198.97 m
↓
↑
198.97 m
↓
S 49.346599°
W 21.590881°		 ← 198.98 m →
39 591 m²		 S 49.346599°
W 21.588135°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57675 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86251 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440029144287109 y=0.658046722412109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440029144287109 × 217)
    floor (0.440029144287109 × 131072)
    floor (57675.5)     		tx = 57675
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.658046722412109 × 217)
    floor (0.658046722412109 × 131072)
    floor (86251.5)     		ty = 86251
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57675 / 86251 ti = "17/57675/86251"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57675/86251.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57675 ÷ 217
    57675 ÷ 131072     		x = 0.440025329589844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86251 ÷ 217
    86251 ÷ 131072     		y = 0.658042907714844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440025329589844 × 2 - 1) × π
    -0.119949340820312 × 3.1415926535     		Λ = -0.37683197
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.658042907714844 × 2 - 1) × π
    -0.316085815429688 × 3.1415926535     		Φ = -0.993012875629463
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37683197} λ = -0.37683197}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.993012875629463))-π/2
    2×atan(0.370458861451508)-π/2
    2×0.354783466412426-π/2
    0.709566932824852-1.57079632675     		φ = -0.86122939
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37683197} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.590881°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86122939 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.344809°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57675 KachelY 86251 -0.37683197 -0.86122939 -21.590881 -49.344809
    Oben rechts KachelX + 1 57676 KachelY 86251 -0.37678403 -0.86122939 -21.588135 -49.344809
    Unten links KachelX 57675 KachelY + 1 86252 -0.37683197 -0.86126062 -21.590881 -49.346599
    Unten rechts KachelX + 1 57676 KachelY + 1 86252 -0.37678403 -0.86126062 -21.588135 -49.346599
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86122939--0.86126062) × R
    3.12300000000487e-05 × 6371000     		dl = 198.96633000031m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86122939--0.86126062) × R
    3.12300000000487e-05 × 6371000     		dr = 198.96633000031m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37683197--0.37678403) × cos(-0.86122939) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.651505291283487 × 6371000     		do = 198.986485704274m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37683197--0.37678403) × cos(-0.86126062) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.651481598510847 × 6371000     		du = 198.979249321658m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86122939)-sin(-0.86126062))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.651505291283487-0.651481598510847)×R²
    abs(-0.37678403--0.37683197)×2.36927726404712e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.36927726404712e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.36927726404712e-05×40589641000000     		ar = 39590.8908851397m²