Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57674 / 85746
↖ ↑ ↗
← S 48.432845°
W 21.593628°		 ← 202.61 m → S 48.432845°
W 21.590881°		 →
↑
202.60 m
↓
↑
202.60 m
↓
S 48.434668°
W 21.593628°		 ← 202.60 m →
41 047 m²		 S 48.434668°
W 21.590881°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57674 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85746 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440021514892578 y=0.654193878173828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440021514892578 × 217)
    floor (0.440021514892578 × 131072)
    floor (57674.5)     		tx = 57674
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.654193878173828 × 217)
    floor (0.654193878173828 × 131072)
    floor (85746.5)     		ty = 85746
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57674 / 85746 ti = "17/57674/85746"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57674/85746.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57674 ÷ 217
    57674 ÷ 131072     		x = 0.440017700195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85746 ÷ 217
    85746 ÷ 131072     		y = 0.654190063476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440017700195312 × 2 - 1) × π
    -0.119964599609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.37687990
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.654190063476562 × 2 - 1) × π
    -0.308380126953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.968804741321335
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37687990} λ = -0.37687990}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.968804741321335))-π/2
    2×atan(0.379536411289769)-π/2
    2×0.362741854354969-π/2
    0.725483708709939-1.57079632675     		φ = -0.84531262
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37687990} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.593628°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84531262 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.432845°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57674 KachelY 85746 -0.37687990 -0.84531262 -21.593628 -48.432845
    Oben rechts KachelX + 1 57675 KachelY 85746 -0.37683197 -0.84531262 -21.590881 -48.432845
    Unten links KachelX 57674 KachelY + 1 85747 -0.37687990 -0.84534442 -21.593628 -48.434668
    Unten rechts KachelX + 1 57675 KachelY + 1 85747 -0.37683197 -0.84534442 -21.590881 -48.434668
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84531262--0.84534442) × R
    3.18000000000263e-05 × 6371000     		dl = 202.597800000167m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84531262--0.84534442) × R
    3.18000000000263e-05 × 6371000     		dr = 202.597800000167m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37687990--0.37683197) × cos(-0.84531262) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.663497419327964 × 6371000     		do = 202.606918865638m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37687990--0.37683197) × cos(-0.84534442) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.663473626913923 × 6371000     		du = 202.599653565788m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84531262)-sin(-0.84534442))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.663497419327964-0.663473626913923)×R²
    abs(-0.37683197--0.37687990)×2.37924140408241e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.37924140408241e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.37924140408241e-05×40589641000000     		ar = 41046.9800636402m²