Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57674 / 84926
↖ ↑ ↗
← S 46.916504°
W 21.593628°		 ← 208.58 m → S 46.916504°
W 21.590881°		 →
↑
208.59 m
↓
↑
208.59 m
↓
S 46.918379°
W 21.593628°		 ← 208.57 m →
43 507 m²		 S 46.918379°
W 21.590881°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57674 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84926 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440021514892578 y=0.647937774658203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440021514892578 × 217)
    floor (0.440021514892578 × 131072)
    floor (57674.5)     		tx = 57674
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.647937774658203 × 217)
    floor (0.647937774658203 × 131072)
    floor (84926.5)     		ty = 84926
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57674 / 84926 ti = "17/57674/84926"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57674/84926.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57674 ÷ 217
    57674 ÷ 131072     		x = 0.440017700195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84926 ÷ 217
    84926 ÷ 131072     		y = 0.647933959960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440017700195312 × 2 - 1) × π
    -0.119964599609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.37687990
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.647933959960938 × 2 - 1) × π
    -0.295867919921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.929496483632889
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37687990} λ = -0.37687990}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.929496483632889))-π/2
    2×atan(0.394752424646224)-π/2
    2×0.375974435638472-π/2
    0.751948871276944-1.57079632675     		φ = -0.81884746
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37687990} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.593628°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81884746 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.916504°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57674 KachelY 84926 -0.37687990 -0.81884746 -21.593628 -46.916504
    Oben rechts KachelX + 1 57675 KachelY 84926 -0.37683197 -0.81884746 -21.590881 -46.916504
    Unten links KachelX 57674 KachelY + 1 84927 -0.37687990 -0.81888020 -21.593628 -46.918379
    Unten rechts KachelX + 1 57675 KachelY + 1 84927 -0.37683197 -0.81888020 -21.590881 -46.918379
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81884746--0.81888020) × R
    3.27399999999756e-05 × 6371000     		dl = 208.586539999844m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81884746--0.81888020) × R
    3.27399999999756e-05 × 6371000     		dr = 208.586539999844m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37687990--0.37683197) × cos(-0.81884746) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.683063428801954 × 6371000     		do = 208.581635237611m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37687990--0.37683197) × cos(-0.81888020) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.68303951648034 × 6371000     		du = 208.574333322541m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81884746)-sin(-0.81888020))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.683063428801954-0.68303951648034)×R²
    abs(-0.37683197--0.37687990)×2.39123216143611e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.39123216143611e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.39123216143611e-05×40589641000000     		ar = 43506.560064897m²