Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57673 / 86857
↖ ↑ ↗
← S 50.417269°
W 21.596374°		 ← 194.61 m → S 50.417269°
W 21.593628°		 →
↑
194.63 m
↓
↑
194.63 m
↓
S 50.419019°
W 21.596374°		 ← 194.61 m →
37 878 m²		 S 50.419019°
W 21.593628°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57673 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86857 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440013885498047 y=0.662670135498047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440013885498047 × 217)
    floor (0.440013885498047 × 131072)
    floor (57673.5)     		tx = 57673
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.662670135498047 × 217)
    floor (0.662670135498047 × 131072)
    floor (86857.5)     		ty = 86857
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57673 / 86857 ti = "17/57673/86857"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57673/86857.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57673 ÷ 217
    57673 ÷ 131072     		x = 0.440010070800781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86857 ÷ 217
    86857 ÷ 131072     		y = 0.662666320800781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440010070800781 × 2 - 1) × π
    -0.119979858398438 × 3.1415926535     		Λ = -0.37692784
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.662666320800781 × 2 - 1) × π
    -0.325332641601562 × 3.1415926535     		Φ = -1.02206263679922
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37692784} λ = -0.37692784}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.02206263679922))-π/2
    2×atan(0.359851930323021)-π/2
    2×0.345424492883614-π/2
    0.690848985767229-1.57079632675     		φ = -0.87994734
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37692784} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.596374°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87994734 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.417269°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57673 KachelY 86857 -0.37692784 -0.87994734 -21.596374 -50.417269
    Oben rechts KachelX + 1 57674 KachelY 86857 -0.37687990 -0.87994734 -21.593628 -50.417269
    Unten links KachelX 57673 KachelY + 1 86858 -0.37692784 -0.87997789 -21.596374 -50.419019
    Unten rechts KachelX + 1 57674 KachelY + 1 86858 -0.37687990 -0.87997789 -21.593628 -50.419019
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87994734--0.87997789) × R
    3.05500000000736e-05 × 6371000     		dl = 194.634050000469m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87994734--0.87997789) × R
    3.05500000000736e-05 × 6371000     		dr = 194.634050000469m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37692784--0.37687990) × cos(-0.87994734) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.63719173042449 × 6371000     		do = 194.614755786878m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37692784--0.37687990) × cos(-0.87997789) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.637168185079455 × 6371000     		du = 194.607564432447m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87994734)-sin(-0.87997789))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.63719173042449-0.637168185079455)×R²
    abs(-0.37687990--0.37692784)×2.35453450352363e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.35453450352363e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.35453450352363e-05×40589641000000     		ar = 37877.9582702988m²