Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57672 / 86194
↖ ↑ ↗
← S 49.242707°
W 21.599121°		 ← 199.40 m → S 49.242707°
W 21.596374°		 →
↑
199.41 m
↓
↑
199.41 m
↓
S 49.244500°
W 21.599121°		 ← 199.39 m →
39 762 m²		 S 49.244500°
W 21.596374°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57672 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86194 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440006256103516 y=0.657611846923828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440006256103516 × 217)
    floor (0.440006256103516 × 131072)
    floor (57672.5)     		tx = 57672
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.657611846923828 × 217)
    floor (0.657611846923828 × 131072)
    floor (86194.5)     		ty = 86194
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57672 / 86194 ti = "17/57672/86194"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57672/86194.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57672 ÷ 217
    57672 ÷ 131072     		x = 0.44000244140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86194 ÷ 217
    86194 ÷ 131072     		y = 0.657608032226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44000244140625 × 2 - 1) × π
    -0.1199951171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.37697578
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.657608032226562 × 2 - 1) × π
    -0.315216064453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.99028047235112
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37697578} λ = -0.37697578}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.99028047235112))-π/2
    2×atan(0.371472488647519)-π/2
    2×0.355674476712537-π/2
    0.711348953425074-1.57079632675     		φ = -0.85944737
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37697578} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.599121°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85944737 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.242707°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57672 KachelY 86194 -0.37697578 -0.85944737 -21.599121 -49.242707
    Oben rechts KachelX + 1 57673 KachelY 86194 -0.37692784 -0.85944737 -21.596374 -49.242707
    Unten links KachelX 57672 KachelY + 1 86195 -0.37697578 -0.85947867 -21.599121 -49.244500
    Unten rechts KachelX + 1 57673 KachelY + 1 86195 -0.37692784 -0.85947867 -21.596374 -49.244500
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85944737--0.85947867) × R
    3.12999999999564e-05 × 6371000     		dl = 199.412299999722m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85944737--0.85947867) × R
    3.12999999999564e-05 × 6371000     		dr = 199.412299999722m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37697578--0.37692784) × cos(-0.85944737) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.652856175051096 × 6371000     		do = 199.39908037842m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37697578--0.37692784) × cos(-0.85947867) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.652832465548123 × 6371000     		du = 199.391838885929m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85944737)-sin(-0.85947867))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.652856175051096-0.652832465548123)×R²
    abs(-0.37692784--0.37697578)×2.37095029724799e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37095029724799e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37095029724799e-05×40589641000000     		ar = 39761.9072178811m²