Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 57671 / 38298
↖ ↑ ↗
← N 59.676062°
W 21.601868°		 ← 154.21 m → N 59.676062°
W 21.599121°		 →
↑
154.24 m
↓
↑
154.24 m
↓
N 59.674675°
W 21.601868°		 ← 154.21 m →
23 786 m²		 N 59.674675°
W 21.599121°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57671 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38298 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439998626708984 y=0.292194366455078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439998626708984 × 217)
    floor (0.439998626708984 × 131072)
    floor (57671.5)     		tx = 57671
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.292194366455078 × 217)
    floor (0.292194366455078 × 131072)
    floor (38298.5)     		ty = 38298
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57671 / 38298 ti = "17/57671/38298"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57671/38298.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57671 ÷ 217
    57671 ÷ 131072     		x = 0.439994812011719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38298 ÷ 217
    38298 ÷ 131072     		y = 0.292190551757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439994812011719 × 2 - 1) × π
    -0.120010375976562 × 3.1415926535     		Λ = -0.37702372
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.292190551757812 × 2 - 1) × π
    0.415618896484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.30570527185109
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37702372} λ = -0.37702372}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.30570527185109))-π/2
    2×atan(3.69029083437776)-π/2
    2×1.30617004592957-π/2
    2.61234009185914-1.57079632675     		φ = 1.04154377
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37702372} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.601868°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04154377 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.676062°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57671 KachelY 38298 -0.37702372 1.04154377 -21.601868 59.676062
    Oben rechts KachelX + 1 57672 KachelY 38298 -0.37697578 1.04154377 -21.599121 59.676062
    Unten links KachelX 57671 KachelY + 1 38299 -0.37702372 1.04151956 -21.601868 59.674675
    Unten rechts KachelX + 1 57672 KachelY + 1 38299 -0.37697578 1.04151956 -21.599121 59.674675
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04154377-1.04151956) × R
    2.421000000008e-05 × 6371000     		dl = 154.24191000051m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04154377-1.04151956) × R
    2.421000000008e-05 × 6371000     		dr = 154.24191000051m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37702372--0.37697578) × cos(1.04154377) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.504888300769234 × 6371000     		do = 154.205882879863m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37702372--0.37697578) × cos(1.04151956) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.504909198322539 × 6371000     		du = 154.212265530546m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04154377)-sin(1.04151956))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.504888300769234-0.504909198322539)×R²
    abs(-0.37697578--0.37702372)×2.08975533049216e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.08975533049216e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.08975533049216e-05×40589641000000     		ar = 23785.5021461171m²