Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57667 / 86269
↖ ↑ ↗
← S 49.377008°
W 21.612854°		 ← 198.81 m → S 49.377008°
W 21.610108°		 →
↑
198.84 m
↓
↑
198.84 m
↓
S 49.378797°
W 21.612854°		 ← 198.81 m →
39 531 m²		 S 49.378797°
W 21.610108°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57667 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86269 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439968109130859 y=0.658184051513672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439968109130859 × 217)
    floor (0.439968109130859 × 131072)
    floor (57667.5)     		tx = 57667
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.658184051513672 × 217)
    floor (0.658184051513672 × 131072)
    floor (86269.5)     		ty = 86269
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57667 / 86269 ti = "17/57667/86269"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57667/86269.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57667 ÷ 217
    57667 ÷ 131072     		x = 0.439964294433594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86269 ÷ 217
    86269 ÷ 131072     		y = 0.658180236816406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439964294433594 × 2 - 1) × π
    -0.120071411132812 × 3.1415926535     		Λ = -0.37721546
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.658180236816406 × 2 - 1) × π
    -0.316360473632812 × 3.1415926535     		Φ = -0.993875739822624
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37721546} λ = -0.37721546}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.993875739822624))-π/2
    2×atan(0.370139343634988)-π/2
    2×0.354502478113234-π/2
    0.709004956226467-1.57079632675     		φ = -0.86179137
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37721546} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.612854°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86179137 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.377008°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57667 KachelY 86269 -0.37721546 -0.86179137 -21.612854 -49.377008
    Oben rechts KachelX + 1 57668 KachelY 86269 -0.37716753 -0.86179137 -21.610108 -49.377008
    Unten links KachelX 57667 KachelY + 1 86270 -0.37721546 -0.86182258 -21.612854 -49.378797
    Unten rechts KachelX + 1 57668 KachelY + 1 86270 -0.37716753 -0.86182258 -21.610108 -49.378797
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86179137--0.86182258) × R
    3.12100000000592e-05 × 6371000     		dl = 198.838910000377m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86179137--0.86182258) × R
    3.12100000000592e-05 × 6371000     		dr = 198.838910000377m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37721546--0.37716753) × cos(-0.86179137) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.651078845620486 × 6371000     		do = 198.81475798885m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37721546--0.37716753) × cos(-0.86182258) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.651055156598072 × 6371000     		du = 198.807524260877m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86179137)-sin(-0.86182258))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.651078845620486-0.651055156598072)×R²
    abs(-0.37716753--0.37721546)×2.36890224137865e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.36890224137865e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.36890224137865e-05×40589641000000     		ar = 39531.3906003587m²