Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57665 / 84905
↖ ↑ ↗
← S 46.877091°
W 21.618347°		 ← 208.78 m → S 46.877091°
W 21.615601°		 →
↑
208.78 m
↓
↑
208.78 m
↓
S 46.878968°
W 21.618347°		 ← 208.77 m →
43 588 m²		 S 46.878968°
W 21.615601°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57665 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84905 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439952850341797 y=0.647777557373047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439952850341797 × 217)
    floor (0.439952850341797 × 131072)
    floor (57665.5)     		tx = 57665
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.647777557373047 × 217)
    floor (0.647777557373047 × 131072)
    floor (84905.5)     		ty = 84905
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57665 / 84905 ti = "17/57665/84905"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57665/84905.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57665 ÷ 217
    57665 ÷ 131072     		x = 0.439949035644531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84905 ÷ 217
    84905 ÷ 131072     		y = 0.647773742675781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439949035644531 × 2 - 1) × π
    -0.120101928710938 × 3.1415926535     		Λ = -0.37731134
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.647773742675781 × 2 - 1) × π
    -0.295547485351562 × 3.1415926535     		Φ = -0.928489808740868
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37731134} λ = -0.37731134}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.928489808740868))-π/2
    2×atan(0.395150012087751)-π/2
    2×0.376318373436636-π/2
    0.752636746873273-1.57079632675     		φ = -0.81815958
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37731134} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.618347°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81815958 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.877091°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57665 KachelY 84905 -0.37731134 -0.81815958 -21.618347 -46.877091
    Oben rechts KachelX + 1 57666 KachelY 84905 -0.37726340 -0.81815958 -21.615601 -46.877091
    Unten links KachelX 57665 KachelY + 1 84906 -0.37731134 -0.81819235 -21.618347 -46.878968
    Unten rechts KachelX + 1 57666 KachelY + 1 84906 -0.37726340 -0.81819235 -21.615601 -46.878968
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81815958--0.81819235) × R
    3.27700000000153e-05 × 6371000     		dl = 208.777670000097m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81815958--0.81819235) × R
    3.27700000000153e-05 × 6371000     		dr = 208.777670000097m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37731134--0.37726340) × cos(-0.81815958) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.683565666544913 × 6371000     		do = 208.778549542936m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37731134--0.37726340) × cos(-0.81819235) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.683541747714745 × 6371000     		du = 208.771244116532m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81815958)-sin(-0.81819235))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.683565666544913-0.683541747714745)×R²
    abs(-0.37726340--0.37731134)×2.3918830167724e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.3918830167724e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.3918830167724e-05×40589641000000     		ar = 43587.5365185271m²