Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57665 / 84232
↖ ↑ ↗
← S 45.598666°
W 21.618347°		 ← 213.70 m → S 45.598666°
W 21.615601°		 →
↑
213.68 m
↓
↑
213.68 m
↓
S 45.600587°
W 21.618347°		 ← 213.69 m →
45 663 m²		 S 45.600587°
W 21.615601°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57665 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84232 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439952850341797 y=0.642642974853516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439952850341797 × 217)
    floor (0.439952850341797 × 131072)
    floor (57665.5)     		tx = 57665
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.642642974853516 × 217)
    floor (0.642642974853516 × 131072)
    floor (84232.5)     		ty = 84232
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57665 / 84232 ti = "17/57665/84232"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57665/84232.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57665 ÷ 217
    57665 ÷ 131072     		x = 0.439949035644531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84232 ÷ 217
    84232 ÷ 131072     		y = 0.64263916015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439949035644531 × 2 - 1) × π
    -0.120101928710938 × 3.1415926535     		Λ = -0.37731134
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64263916015625 × 2 - 1) × π
    -0.2852783203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.89622827529657
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37731134} λ = -0.37731134}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.89622827529657))-π/2
    2×atan(0.408106024120303)-π/2
    2×0.387474738004639-π/2
    0.774949476009278-1.57079632675     		φ = -0.79584685
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37731134} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.618347°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79584685 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.598666°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57665 KachelY 84232 -0.37731134 -0.79584685 -21.618347 -45.598666
    Oben rechts KachelX + 1 57666 KachelY 84232 -0.37726340 -0.79584685 -21.615601 -45.598666
    Unten links KachelX 57665 KachelY + 1 84233 -0.37731134 -0.79588039 -21.618347 -45.600587
    Unten rechts KachelX + 1 57666 KachelY + 1 84233 -0.37726340 -0.79588039 -21.615601 -45.600587
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79584685--0.79588039) × R
    3.35399999999986e-05 × 6371000     		dl = 213.683339999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79584685--0.79588039) × R
    3.35399999999986e-05 × 6371000     		dr = 213.683339999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37731134--0.37726340) × cos(-0.79584685) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.69967997961314 × 6371000     		do = 213.700275536388m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37731134--0.37726340) × cos(-0.79588039) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.699656016352444 × 6371000     		du = 213.692956539757m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79584685)-sin(-0.79588039))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.69967997961314-0.699656016352444)×R²
    abs(-0.37726340--0.37731134)×2.39632606959805e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39632606959805e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39632606959805e-05×40589641000000     		ar = 45663.4066661005m²