Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57662 / 84928
↖ ↑ ↗
← S 46.920255°
W 21.626587°		 ← 208.61 m → S 46.920255°
W 21.623840°		 →
↑
208.59 m
↓
↑
208.59 m
↓
S 46.922131°
W 21.626587°		 ← 208.60 m →
43 513 m²		 S 46.922131°
W 21.623840°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57662 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84928 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439929962158203 y=0.647953033447266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439929962158203 × 217)
    floor (0.439929962158203 × 131072)
    floor (57662.5)     		tx = 57662
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.647953033447266 × 217)
    floor (0.647953033447266 × 131072)
    floor (84928.5)     		ty = 84928
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57662 / 84928 ti = "17/57662/84928"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57662/84928.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57662 ÷ 217
    57662 ÷ 131072     		x = 0.439926147460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84928 ÷ 217
    84928 ÷ 131072     		y = 0.64794921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439926147460938 × 2 - 1) × π
    -0.120147705078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.37745515
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64794921875 × 2 - 1) × π
    -0.2958984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.929592357432129
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37745515} λ = -0.37745515}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.929592357432129))-π/2
    2×atan(0.394714580045696)-π/2
    2×0.375941692841694-π/2
    0.751883385683388-1.57079632675     		φ = -0.81891294
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37745515} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.626587°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81891294 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.920255°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57662 KachelY 84928 -0.37745515 -0.81891294 -21.626587 -46.920255
    Oben rechts KachelX + 1 57663 KachelY 84928 -0.37740721 -0.81891294 -21.623840 -46.920255
    Unten links KachelX 57662 KachelY + 1 84929 -0.37745515 -0.81894568 -21.626587 -46.922131
    Unten rechts KachelX + 1 57663 KachelY + 1 84929 -0.37740721 -0.81894568 -21.623840 -46.922131
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81891294--0.81894568) × R
    3.27399999999756e-05 × 6371000     		dl = 208.586539999844m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81891294--0.81894568) × R
    3.27399999999756e-05 × 6371000     		dr = 208.586539999844m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37745515--0.37740721) × cos(-0.81891294) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.68301560342657 × 6371000     		do = 208.610546108211m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37745515--0.37740721) × cos(-0.81894568) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.682991689640671 × 6371000     		du = 208.603242222457m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81891294)-sin(-0.81894568))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.68301560342657-0.682991689640671)×R²
    abs(-0.37740721--0.37745515)×2.39137858992766e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.39137858992766e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.39137858992766e-05×40589641000000     		ar = 43512.5902779715m²