Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 57661 / 84957
↖ ↑ ↗
← S 46.974631°
W 21.629333°		 ← 208.36 m → S 46.974631°
W 21.626587°		 →
↑
208.33 m
↓
↑
208.33 m
↓
S 46.976504°
W 21.629333°		 ← 208.35 m →
43 406 m²		 S 46.976504°
W 21.626587°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57661 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84957 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439922332763672 y=0.648174285888672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439922332763672 × 217)
    floor (0.439922332763672 × 131072)
    floor (57661.5)     		tx = 57661
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.648174285888672 × 217)
    floor (0.648174285888672 × 131072)
    floor (84957.5)     		ty = 84957
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57661 / 84957 ti = "17/57661/84957"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57661/84957.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57661 ÷ 217
    57661 ÷ 131072     		x = 0.439918518066406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84957 ÷ 217
    84957 ÷ 131072     		y = 0.648170471191406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439918518066406 × 2 - 1) × π
    -0.120162963867188 × 3.1415926535     		Λ = -0.37750308
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.648170471191406 × 2 - 1) × π
    -0.296340942382812 × 3.1415926535     		Φ = -0.930982527521111
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37750308} λ = -0.37750308}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.930982527521111))-π/2
    2×atan(0.394166240873498)-π/2
    2×0.375467179929978-π/2
    0.750934359859955-1.57079632675     		φ = -0.81986197
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37750308} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.629333°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81986197 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.974631°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57661 KachelY 84957 -0.37750308 -0.81986197 -21.629333 -46.974631
    Oben rechts KachelX + 1 57662 KachelY 84957 -0.37745515 -0.81986197 -21.626587 -46.974631
    Unten links KachelX 57661 KachelY + 1 84958 -0.37750308 -0.81989467 -21.629333 -46.976504
    Unten rechts KachelX + 1 57662 KachelY + 1 84958 -0.37745515 -0.81989467 -21.626587 -46.976504
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81986197--0.81989467) × R
    3.26999999999966e-05 × 6371000     		dl = 208.331699999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81986197--0.81989467) × R
    3.26999999999966e-05 × 6371000     		dr = 208.331699999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37750308--0.37745515) × cos(-0.81986197) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.682322120847235 × 6371000     		do = 208.355267935703m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37750308--0.37745515) × cos(-0.81989467) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.682298215093296 × 6371000     		du = 208.347968026152m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81986197)-sin(-0.81989467))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.682322120847235-0.682298215093296)×R²
    abs(-0.37745515--0.37750308)×2.39057539395127e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.39057539395127e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.39057539395127e-05×40589641000000     		ar = 43406.2467756659m²