Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57660 / 86206
↖ ↑ ↗
← S 49.264220°
W 21.632080°		 ← 199.31 m → S 49.264220°
W 21.629333°		 →
↑
199.28 m
↓
↑
199.28 m
↓
S 49.266012°
W 21.632080°		 ← 199.30 m →
39 719 m²		 S 49.266012°
W 21.629333°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57660 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86206 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439914703369141 y=0.657703399658203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439914703369141 × 217)
    floor (0.439914703369141 × 131072)
    floor (57660.5)     		tx = 57660
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.657703399658203 × 217)
    floor (0.657703399658203 × 131072)
    floor (86206.5)     		ty = 86206
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57660 / 86206 ti = "17/57660/86206"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57660/86206.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57660 ÷ 217
    57660 ÷ 131072     		x = 0.439910888671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86206 ÷ 217
    86206 ÷ 131072     		y = 0.657699584960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439910888671875 × 2 - 1) × π
    -0.12017822265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.37755102
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.657699584960938 × 2 - 1) × π
    -0.315399169921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.990855715146561
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37755102} λ = -0.37755102}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.990855715146561))-π/2
    2×atan(0.371258863223854)-π/2
    2×0.355486742216415-π/2
    0.71097348443283-1.57079632675     		φ = -0.85982284
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37755102} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.632080°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85982284 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.264220°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57660 KachelY 86206 -0.37755102 -0.85982284 -21.632080 -49.264220
    Oben rechts KachelX + 1 57661 KachelY 86206 -0.37750308 -0.85982284 -21.629333 -49.264220
    Unten links KachelX 57660 KachelY + 1 86207 -0.37755102 -0.85985412 -21.632080 -49.266012
    Unten rechts KachelX + 1 57661 KachelY + 1 86207 -0.37750308 -0.85985412 -21.629333 -49.266012
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85982284--0.85985412) × R
    3.12800000000779e-05 × 6371000     		dl = 199.284880000496m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85982284--0.85985412) × R
    3.12800000000779e-05 × 6371000     		dr = 199.284880000496m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37755102--0.37750308) × cos(-0.85982284) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.6525717173132 × 6371000     		do = 199.312199663555m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37755102--0.37750308) × cos(-0.85985412) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.652548015294482 × 6371000     		du = 199.304960456949m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85982284)-sin(-0.85985412))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.6525717173132-0.652548015294482)×R²
    abs(-0.37750308--0.37755102)×2.37020187175974e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.37020187175974e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.37020187175974e-05×40589641000000     		ar = 39719.1864636422m²