Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 57659 / 86207
↖ ↑ ↗
← S 49.266012°
W 21.634827°		 ← 199.30 m → S 49.266012°
W 21.632080°		 →
↑
199.28 m
↓
↑
199.28 m
↓
S 49.267804°
W 21.634827°		 ← 199.30 m →
39 718 m²		 S 49.267804°
W 21.632080°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57659 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86207 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439907073974609 y=0.657711029052734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439907073974609 × 217)
    floor (0.439907073974609 × 131072)
    floor (57659.5)     		tx = 57659
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.657711029052734 × 217)
    floor (0.657711029052734 × 131072)
    floor (86207.5)     		ty = 86207
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57659 / 86207 ti = "17/57659/86207"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57659/86207.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57659 ÷ 217
    57659 ÷ 131072     		x = 0.439903259277344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86207 ÷ 217
    86207 ÷ 131072     		y = 0.657707214355469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439903259277344 × 2 - 1) × π
    -0.120193481445312 × 3.1415926535     		Λ = -0.37759896
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.657707214355469 × 2 - 1) × π
    -0.315414428710938 × 3.1415926535     		Φ = -0.990903652046181
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37759896} λ = -0.37759896}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.990903652046181))-π/2
    2×atan(0.371241066651554)-π/2
    2×0.35547110136807-π/2
    0.71094220273614-1.57079632675     		φ = -0.85985412
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37759896} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.634827°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85985412 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.266012°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57659 KachelY 86207 -0.37759896 -0.85985412 -21.634827 -49.266012
    Oben rechts KachelX + 1 57660 KachelY 86207 -0.37755102 -0.85985412 -21.632080 -49.266012
    Unten links KachelX 57659 KachelY + 1 86208 -0.37759896 -0.85988540 -21.634827 -49.267804
    Unten rechts KachelX + 1 57660 KachelY + 1 86208 -0.37755102 -0.85988540 -21.632080 -49.267804
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85985412--0.85988540) × R
    3.12799999999669e-05 × 6371000     		dl = 199.284879999789m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85985412--0.85988540) × R
    3.12799999999669e-05 × 6371000     		dr = 199.284879999789m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37759896--0.37755102) × cos(-0.85985412) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.652548015294482 × 6371000     		do = 199.304960456718m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37759896--0.37755102) × cos(-0.85988540) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.652524312637287 × 6371000     		du = 199.297721055104m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85985412)-sin(-0.85988540))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.652548015294482-0.652524312637287)×R²
    abs(-0.37755102--0.37759896)×2.37026571956456e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37026571956456e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37026571956456e-05×40589641000000     		ar = 39717.7437796967m²