Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57658 / 86212
↖ ↑ ↗
← S 49.274973°
W 21.637574°		 ← 199.27 m → S 49.274973°
W 21.634827°		 →
↑
199.22 m
↓
↑
199.22 m
↓
S 49.276765°
W 21.637574°		 ← 199.26 m →
39 698 m²		 S 49.276765°
W 21.634827°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57658 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86212 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439899444580078 y=0.657749176025391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439899444580078 × 217)
    floor (0.439899444580078 × 131072)
    floor (57658.5)     		tx = 57658
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.657749176025391 × 217)
    floor (0.657749176025391 × 131072)
    floor (86212.5)     		ty = 86212
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57658 / 86212 ti = "17/57658/86212"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57658/86212.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57658 ÷ 217
    57658 ÷ 131072     		x = 0.439895629882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86212 ÷ 217
    86212 ÷ 131072     		y = 0.657745361328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439895629882812 × 2 - 1) × π
    -0.120208740234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.37764690
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.657745361328125 × 2 - 1) × π
    -0.31549072265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.991143336544281
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37764690} λ = -0.37764690}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.991143336544281))-π/2
    2×atan(0.371152096585618)-π/2
    2×0.355392905648171-π/2
    0.710785811296343-1.57079632675     		φ = -0.86001052
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37764690} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.637574°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86001052 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.274973°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57658 KachelY 86212 -0.37764690 -0.86001052 -21.637574 -49.274973
    Oben rechts KachelX + 1 57659 KachelY 86212 -0.37759896 -0.86001052 -21.634827 -49.274973
    Unten links KachelX 57658 KachelY + 1 86213 -0.37764690 -0.86004179 -21.637574 -49.276765
    Unten rechts KachelX + 1 57659 KachelY + 1 86213 -0.37759896 -0.86004179 -21.634827 -49.276765
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86001052--0.86004179) × R
    3.12700000000277e-05 × 6371000     		dl = 199.221170000176m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86001052--0.86004179) × R
    3.12700000000277e-05 × 6371000     		dr = 199.221170000176m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37764690--0.37759896) × cos(-0.86001052) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.652429495624188 × 6371000     		do = 199.268761498944m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37764690--0.37759896) × cos(-0.86004179) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.652405797353648 × 6371000     		du = 199.261523437128m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86001052)-sin(-0.86004179))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.652429495624188-0.652405797353648)×R²
    abs(-0.37759896--0.37764690)×2.36982705397182e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.36982705397182e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.36982705397182e-05×40589641000000     		ar = 39697.8348259666m²