Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57658 / 84229
↖ ↑ ↗
← S 45.592900°
W 21.637574°		 ← 213.72 m → S 45.592900°
W 21.634827°		 →
↑
213.75 m
↓
↑
213.75 m
↓
S 45.594822°
W 21.637574°		 ← 213.71 m →
45 682 m²		 S 45.594822°
W 21.634827°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57658 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84229 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439899444580078 y=0.642620086669922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439899444580078 × 217)
    floor (0.439899444580078 × 131072)
    floor (57658.5)     		tx = 57658
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.642620086669922 × 217)
    floor (0.642620086669922 × 131072)
    floor (84229.5)     		ty = 84229
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57658 / 84229 ti = "17/57658/84229"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57658/84229.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57658 ÷ 217
    57658 ÷ 131072     		x = 0.439895629882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84229 ÷ 217
    84229 ÷ 131072     		y = 0.642616271972656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439895629882812 × 2 - 1) × π
    -0.120208740234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.37764690
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.642616271972656 × 2 - 1) × π
    -0.285232543945312 × 3.1415926535     		Φ = -0.89608446459771
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37764690} λ = -0.37764690}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.89608446459771))-π/2
    2×atan(0.408164718353168)-π/2
    2×0.387525051322651-π/2
    0.775050102645301-1.57079632675     		φ = -0.79574622
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37764690} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.637574°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79574622 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.592900°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57658 KachelY 84229 -0.37764690 -0.79574622 -21.637574 -45.592900
    Oben rechts KachelX + 1 57659 KachelY 84229 -0.37759896 -0.79574622 -21.634827 -45.592900
    Unten links KachelX 57658 KachelY + 1 84230 -0.37764690 -0.79577977 -21.637574 -45.594822
    Unten rechts KachelX + 1 57659 KachelY + 1 84230 -0.37759896 -0.79577977 -21.634827 -45.594822
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79574622--0.79577977) × R
    3.35500000000488e-05 × 6371000     		dl = 213.747050000311m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79574622--0.79577977) × R
    3.35500000000488e-05 × 6371000     		dr = 213.747050000311m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37764690--0.37759896) × cos(-0.79574622) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.699751871816427 × 6371000     		do = 213.722233266025m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37764690--0.37759896) × cos(-0.79577977) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.699727903773228 × 6371000     		du = 213.714912808694m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79574622)-sin(-0.79577977))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.699751871816427-0.699727903773228)×R²
    abs(-0.37759896--0.37764690)×2.39680431984857e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.39680431984857e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.39680431984857e-05×40589641000000     		ar = 45681.7145212572m²