Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 57657 / 86214
↖ ↑ ↗
← S 49.278556°
W 21.640320°		 ← 199.21 m → S 49.278556°
W 21.637574°		 →
↑
199.28 m
↓
↑
199.28 m
↓
S 49.280349°
W 21.640320°		 ← 199.21 m →
39 699 m²		 S 49.280349°
W 21.637574°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57657 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86214 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439891815185547 y=0.657764434814453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439891815185547 × 217)
    floor (0.439891815185547 × 131072)
    floor (57657.5)     		tx = 57657
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.657764434814453 × 217)
    floor (0.657764434814453 × 131072)
    floor (86214.5)     		ty = 86214
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57657 / 86214 ti = "17/57657/86214"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57657/86214.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57657 ÷ 217
    57657 ÷ 131072     		x = 0.439888000488281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86214 ÷ 217
    86214 ÷ 131072     		y = 0.657760620117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439888000488281 × 2 - 1) × π
    -0.120223999023438 × 3.1415926535     		Λ = -0.37769483
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.657760620117188 × 2 - 1) × π
    -0.315521240234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.991239210343521
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37769483} λ = -0.37769483}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.991239210343521))-π/2
    2×atan(0.371116514529743)-π/2
    2×0.355361631336964-π/2
    0.710723262673928-1.57079632675     		φ = -0.86007306
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37769483} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.640320°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86007306 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.278556°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57657 KachelY 86214 -0.37769483 -0.86007306 -21.640320 -49.278556
    Oben rechts KachelX + 1 57658 KachelY 86214 -0.37764690 -0.86007306 -21.637574 -49.278556
    Unten links KachelX 57657 KachelY + 1 86215 -0.37769483 -0.86010434 -21.640320 -49.280349
    Unten rechts KachelX + 1 57658 KachelY + 1 86215 -0.37764690 -0.86010434 -21.637574 -49.280349
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86007306--0.86010434) × R
    3.12800000000779e-05 × 6371000     		dl = 199.284880000496m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86007306--0.86010434) × R
    3.12800000000779e-05 × 6371000     		dr = 199.284880000496m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37769483--0.37764690) × cos(-0.86007306) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.652382098445178 × 6371000     		do = 199.212721916771m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37769483--0.37764690) × cos(-0.86010434) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.652358391319693 × 6371000     		du = 199.205482660807m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86007306)-sin(-0.86010434))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.652382098445178-0.652358391319693)×R²
    abs(-0.37764690--0.37769483)×2.37071254844956e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.37071254844956e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.37071254844956e-05×40589641000000     		ar = 39699.3620478738m²