Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57656 / 86213
↖ ↑ ↗
← S 49.276765°
W 21.643066°		 ← 199.26 m → S 49.276765°
W 21.640320°		 →
↑
199.22 m
↓
↑
199.22 m
↓
S 49.278556°
W 21.643066°		 ← 199.25 m →
39 696 m²		 S 49.278556°
W 21.640320°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57656 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86213 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439884185791016 y=0.657756805419922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439884185791016 × 217)
    floor (0.439884185791016 × 131072)
    floor (57656.5)     		tx = 57656
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.657756805419922 × 217)
    floor (0.657756805419922 × 131072)
    floor (86213.5)     		ty = 86213
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57656 / 86213 ti = "17/57656/86213"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57656/86213.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57656 ÷ 217
    57656 ÷ 131072     		x = 0.43988037109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86213 ÷ 217
    86213 ÷ 131072     		y = 0.657752990722656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43988037109375 × 2 - 1) × π
    -0.1202392578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.37774277
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.657752990722656 × 2 - 1) × π
    -0.315505981445312 × 3.1415926535     		Φ = -0.991191273443901
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37774277} λ = -0.37774277}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.991191273443901))-π/2
    2×atan(0.371134305131257)-π/2
    2×0.355377268208519-π/2
    0.710754536417039-1.57079632675     		φ = -0.86004179
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37774277} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.643066°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86004179 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.276765°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57656 KachelY 86213 -0.37774277 -0.86004179 -21.643066 -49.276765
    Oben rechts KachelX + 1 57657 KachelY 86213 -0.37769483 -0.86004179 -21.640320 -49.276765
    Unten links KachelX 57656 KachelY + 1 86214 -0.37774277 -0.86007306 -21.643066 -49.278556
    Unten rechts KachelX + 1 57657 KachelY + 1 86214 -0.37769483 -0.86007306 -21.640320 -49.278556
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86004179--0.86007306) × R
    3.12699999999166e-05 × 6371000     		dl = 199.221169999469m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86004179--0.86007306) × R
    3.12699999999166e-05 × 6371000     		dr = 199.221169999469m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37774277--0.37769483) × cos(-0.86004179) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.652405797353648 × 6371000     		do = 199.261523437128m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37774277--0.37769483) × cos(-0.86007306) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.652382098445178 × 6371000     		du = 199.254285180471m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86004179)-sin(-0.86007306))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.652405797353648-0.652382098445178)×R²
    abs(-0.37769483--0.37774277)×2.36989084703154e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.36989084703154e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.36989084703154e-05×40589641000000     		ar = 39696.3928312177m²