Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57650 / 86677
↖ ↑ ↗
← S 50.101203°
W 21.659546°		 ← 195.91 m → S 50.101203°
W 21.656799°		 →
↑
195.91 m
↓
↑
195.91 m
↓
S 50.102965°
W 21.659546°		 ← 195.90 m →
38 380 m²		 S 50.102965°
W 21.656799°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57650 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86677 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439838409423828 y=0.661296844482422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439838409423828 × 217)
    floor (0.439838409423828 × 131072)
    floor (57650.5)     		tx = 57650
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.661296844482422 × 217)
    floor (0.661296844482422 × 131072)
    floor (86677.5)     		ty = 86677
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57650 / 86677 ti = "17/57650/86677"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57650/86677.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57650 ÷ 217
    57650 ÷ 131072     		x = 0.439834594726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86677 ÷ 217
    86677 ÷ 131072     		y = 0.661293029785156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439834594726562 × 2 - 1) × π
    -0.120330810546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.37803039
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.661293029785156 × 2 - 1) × π
    -0.322586059570312 × 3.1415926535     		Φ = -1.01343399486761
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37803039} λ = -0.37803039}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.01343399486761))-π/2
    2×atan(0.362970398502453)-π/2
    2×0.348182689635325-π/2
    0.69636537927065-1.57079632675     		φ = -0.87443095
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37803039} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.659546°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87443095 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.101203°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57650 KachelY 86677 -0.37803039 -0.87443095 -21.659546 -50.101203
    Oben rechts KachelX + 1 57651 KachelY 86677 -0.37798245 -0.87443095 -21.656799 -50.101203
    Unten links KachelX 57650 KachelY + 1 86678 -0.37803039 -0.87446170 -21.659546 -50.102965
    Unten rechts KachelX + 1 57651 KachelY + 1 86678 -0.37798245 -0.87446170 -21.656799 -50.102965
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87443095--0.87446170) × R
    3.07499999999683e-05 × 6371000     		dl = 195.908249999798m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87443095--0.87446170) × R
    3.07499999999683e-05 × 6371000     		dr = 195.908249999798m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37803039--0.37798245) × cos(-0.87443095) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.641433524986574 × 6371000     		do = 195.910309029704m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37803039--0.37798245) × cos(-0.87446170) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.641409933940794 × 6371000     		du = 195.90310371709m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87443095)-sin(-0.87446170))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.641433524986574-0.641409933940794)×R²
    abs(-0.37798245--0.37803039)×2.35910457796473e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.35910457796473e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.35910457796473e-05×40589641000000     		ar = 38379.7400119655m²