Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57649 / 44211
↖ ↑ ↗
← N 50.424269°
W 21.662293°		 ← 194.59 m → N 50.424269°
W 21.659546°		 →
↑
194.57 m
↓
↑
194.57 m
↓
N 50.422519°
W 21.662293°		 ← 194.59 m →
37 861 m²		 N 50.422519°
W 21.659546°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57649 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44211 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439830780029297 y=0.337306976318359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439830780029297 × 217)
    floor (0.439830780029297 × 131072)
    floor (57649.5)     		tx = 57649
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.337306976318359 × 217)
    floor (0.337306976318359 × 131072)
    floor (44211.5)     		ty = 44211
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57649 / 44211 ti = "17/57649/44211"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57649/44211.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57649 ÷ 217
    57649 ÷ 131072     		x = 0.439826965332031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44211 ÷ 217
    44211 ÷ 131072     		y = 0.337303161621094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439826965332031 × 2 - 1) × π
    -0.120346069335938 × 3.1415926535     		Λ = -0.37807833
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.337303161621094 × 2 - 1) × π
    0.325393676757812 × 3.1415926535     		Φ = 1.0222543843977
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37807833} λ = -0.37807833}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0222543843977))-π/2
    2×atan(2.77945366330369)-π/2
    2×1.22543291938935-π/2
    2.4508658387787-1.57079632675     		φ = 0.88006951
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37807833} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.662293°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88006951 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.424269°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57649 KachelY 44211 -0.37807833 0.88006951 -21.662293 50.424269
    Oben rechts KachelX + 1 57650 KachelY 44211 -0.37803039 0.88006951 -21.659546 50.424269
    Unten links KachelX 57649 KachelY + 1 44212 -0.37807833 0.88003897 -21.662293 50.422519
    Unten rechts KachelX + 1 57650 KachelY + 1 44212 -0.37803039 0.88003897 -21.659546 50.422519
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88006951-0.88003897) × R
    3.05400000000233e-05 × 6371000     		dl = 194.570340000149m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88006951-0.88003897) × R
    3.05400000000233e-05 × 6371000     		dr = 194.570340000149m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37807833--0.37803039) × cos(0.88006951) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.637097568599909 × 6371000     		do = 194.585996341926m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37807833--0.37803039) × cos(0.88003897) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.637121108020669 × 6371000     		du = 194.59318588693m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88006951)-sin(0.88003897))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.637097568599909-0.637121108020669)×R²
    abs(-0.37803039--0.37807833)×2.35394207602768e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.35394207602768e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.35394207602768e-05×40589641000000     		ar = 37861.362906532m²