Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 57648 / 38160
↖ ↑ ↗
← N 59.866883°
W 21.665039°		 ← 153.30 m → N 59.866883°
W 21.662293°		 →
↑
153.29 m
↓
↑
153.29 m
↓
N 59.865504°
W 21.665039°		 ← 153.30 m →
23 499 m²		 N 59.865504°
W 21.662293°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57648 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38160 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439823150634766 y=0.291141510009766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439823150634766 × 217)
    floor (0.439823150634766 × 131072)
    floor (57648.5)     		tx = 57648
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.291141510009766 × 217)
    floor (0.291141510009766 × 131072)
    floor (38160.5)     		ty = 38160
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57648 / 38160 ti = "17/57648/38160"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57648/38160.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57648 ÷ 217
    57648 ÷ 131072     		x = 0.4398193359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38160 ÷ 217
    38160 ÷ 131072     		y = 0.2911376953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4398193359375 × 2 - 1) × π
    -0.120361328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.37812626
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2911376953125 × 2 - 1) × π
    0.417724609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.31232056399866
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37812626} λ = -0.37812626}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.31232056399866))-π/2
    2×atan(3.71478411212763)-π/2
    2×1.30783527571967-π/2
    2.61567055143935-1.57079632675     		φ = 1.04487422
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37812626} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.665039°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04487422 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.866883°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57648 KachelY 38160 -0.37812626 1.04487422 -21.665039 59.866883
    Oben rechts KachelX + 1 57649 KachelY 38160 -0.37807833 1.04487422 -21.662293 59.866883
    Unten links KachelX 57648 KachelY + 1 38161 -0.37812626 1.04485016 -21.665039 59.865504
    Unten rechts KachelX + 1 57649 KachelY + 1 38161 -0.37807833 1.04485016 -21.662293 59.865504
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04487422-1.04485016) × R
    2.40600000001034e-05 × 6371000     		dl = 153.286260000659m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04487422-1.04485016) × R
    2.40600000001034e-05 × 6371000     		dr = 153.286260000659m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37812626--0.37807833) × cos(1.04487422) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.502010712561161 × 6371000     		do = 153.295010269339m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37812626--0.37807833) × cos(1.04485016) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.502031520981186 × 6371000     		du = 153.301364370719m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04487422)-sin(1.04485016))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.502010712561161-0.502031520981186)×R²
    abs(-0.37807833--0.37812626)×2.08084200246095e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.08084200246095e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.08084200246095e-05×40589641000000     		ar = 23498.5058003574m²