Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57647 / 85753
↖ ↑ ↗
← S 48.445600°
W 21.667786°		 ← 202.60 m → S 48.445600°
W 21.665039°		 →
↑
202.60 m
↓
↑
202.60 m
↓
S 48.447422°
W 21.667786°		 ← 202.59 m →
41 045 m²		 S 48.447422°
W 21.665039°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57647 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85753 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439815521240234 y=0.654247283935547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439815521240234 × 217)
    floor (0.439815521240234 × 131072)
    floor (57647.5)     		tx = 57647
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.654247283935547 × 217)
    floor (0.654247283935547 × 131072)
    floor (85753.5)     		ty = 85753
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57647 / 85753 ti = "17/57647/85753"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57647/85753.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57647 ÷ 217
    57647 ÷ 131072     		x = 0.439811706542969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85753 ÷ 217
    85753 ÷ 131072     		y = 0.654243469238281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439811706542969 × 2 - 1) × π
    -0.120376586914062 × 3.1415926535     		Λ = -0.37817420
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.654243469238281 × 2 - 1) × π
    -0.308486938476562 × 3.1415926535     		Φ = -0.969140299618675
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37817420} λ = -0.37817420}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.969140299618675))-π/2
    2×atan(0.379409076063208)-π/2
    2×0.362630547296311-π/2
    0.725261094592622-1.57079632675     		φ = -0.84553523
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37817420} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.667786°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84553523 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.445600°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57647 KachelY 85753 -0.37817420 -0.84553523 -21.667786 -48.445600
    Oben rechts KachelX + 1 57648 KachelY 85753 -0.37812626 -0.84553523 -21.665039 -48.445600
    Unten links KachelX 57647 KachelY + 1 85754 -0.37817420 -0.84556703 -21.667786 -48.447422
    Unten rechts KachelX + 1 57648 KachelY + 1 85754 -0.37812626 -0.84556703 -21.665039 -48.447422
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84553523--0.84556703) × R
    3.18000000000263e-05 × 6371000     		dl = 202.597800000167m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84553523--0.84556703) × R
    3.18000000000263e-05 × 6371000     		dr = 202.597800000167m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37817420--0.37812626) × cos(-0.84553523) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.663330850857706 × 6371000     		do = 202.598315988146m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37817420--0.37812626) × cos(-0.84556703) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.663307053747442 × 6371000     		du = 202.591047738134m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84553523)-sin(-0.84556703))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.663330850857706-0.663307053747442)×R²
    abs(-0.37812626--0.37817420)×2.37971102639012e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.37971102639012e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.37971102639012e-05×40589641000000     		ar = 41045.2368408094m²