Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 57647 / 84659
↖ ↑ ↗
← S 46.413245°
W 21.667786°		 ← 210.58 m → S 46.413245°
W 21.665039°		 →
↑
210.56 m
↓
↑
210.56 m
↓
S 46.415139°
W 21.667786°		 ← 210.57 m →
44 339 m²		 S 46.415139°
W 21.665039°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57647 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84659 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439815521240234 y=0.645900726318359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439815521240234 × 217)
    floor (0.439815521240234 × 131072)
    floor (57647.5)     		tx = 57647
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.645900726318359 × 217)
    floor (0.645900726318359 × 131072)
    floor (84659.5)     		ty = 84659
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57647 / 84659 ti = "17/57647/84659"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57647/84659.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57647 ÷ 217
    57647 ÷ 131072     		x = 0.439811706542969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84659 ÷ 217
    84659 ÷ 131072     		y = 0.645896911621094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439811706542969 × 2 - 1) × π
    -0.120376586914062 × 3.1415926535     		Λ = -0.37817420
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.645896911621094 × 2 - 1) × π
    -0.291793823242188 × 3.1415926535     		Φ = -0.916697331434334
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37817420} λ = -0.37817420}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.916697331434334))-π/2
    2×atan(0.399837393236088)-π/2
    2×0.380366191008115-π/2
    0.760732382016229-1.57079632675     		φ = -0.81006394
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37817420} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.667786°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81006394 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.413245°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57647 KachelY 84659 -0.37817420 -0.81006394 -21.667786 -46.413245
    Oben rechts KachelX + 1 57648 KachelY 84659 -0.37812626 -0.81006394 -21.665039 -46.413245
    Unten links KachelX 57647 KachelY + 1 84660 -0.37817420 -0.81009699 -21.667786 -46.415139
    Unten rechts KachelX + 1 57648 KachelY + 1 84660 -0.37812626 -0.81009699 -21.665039 -46.415139
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81006394--0.81009699) × R
    3.30499999999789e-05 × 6371000     		dl = 210.561549999866m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81006394--0.81009699) × R
    3.30499999999789e-05 × 6371000     		dr = 210.561549999866m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37817420--0.37812626) × cos(-0.81006394) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.689452120620403 × 6371000     		do = 210.576424135162m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37817420--0.37812626) × cos(-0.81009699) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.689428181095738 × 6371000     		du = 210.569112388126m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81006394)-sin(-0.81009699))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.689452120620403-0.689428181095738)×R²
    abs(-0.37812626--0.37817420)×2.39395246646179e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.39395246646179e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.39395246646179e-05×40589641000000     		ar = 44338.5284769458m²