Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57646 / 85185
↖ ↑ ↗
← S 47.400208°
W 21.670532°		 ← 206.73 m → S 47.400208°
W 21.667786°		 →
↑
206.74 m
↓
↑
206.74 m
↓
S 47.402067°
W 21.670532°		 ← 206.73 m →
42 739 m²		 S 47.402067°
W 21.667786°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57646 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85185 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439807891845703 y=0.649913787841797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439807891845703 × 217)
    floor (0.439807891845703 × 131072)
    floor (57646.5)     		tx = 57646
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.649913787841797 × 217)
    floor (0.649913787841797 × 131072)
    floor (85185.5)     		ty = 85185
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57646 / 85185 ti = "17/57646/85185"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57646/85185.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57646 ÷ 217
    57646 ÷ 131072     		x = 0.439804077148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85185 ÷ 217
    85185 ÷ 131072     		y = 0.649909973144531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439804077148438 × 2 - 1) × π
    -0.120391845703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.37822214
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.649909973144531 × 2 - 1) × π
    -0.299819946289062 × 3.1415926535     		Φ = -0.941912140634483
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37822214} λ = -0.37822214}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.941912140634483))-π/2
    2×atan(0.389881613669345)-π/2
    2×0.371753312738619-π/2
    0.743506625477239-1.57079632675     		φ = -0.82728970
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37822214} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.670532°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82728970 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.400208°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57646 KachelY 85185 -0.37822214 -0.82728970 -21.670532 -47.400208
    Oben rechts KachelX + 1 57647 KachelY 85185 -0.37817420 -0.82728970 -21.667786 -47.400208
    Unten links KachelX 57646 KachelY + 1 85186 -0.37822214 -0.82732215 -21.670532 -47.402067
    Unten rechts KachelX + 1 57647 KachelY + 1 85186 -0.37817420 -0.82732215 -21.667786 -47.402067
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82728970--0.82732215) × R
    3.24499999999617e-05 × 6371000     		dl = 206.738949999756m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82728970--0.82732215) × R
    3.24499999999617e-05 × 6371000     		dr = 206.738949999756m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37822214--0.37817420) × cos(-0.82728970) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.676873294293071 × 6371000     		do = 206.734526795564m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37822214--0.37817420) × cos(-0.82732215) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.676849407506392 × 6371000     		du = 206.727231156066m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82728970)-sin(-0.82732215))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.676873294293071-0.676849407506392)×R²
    abs(-0.37817420--0.37822214)×2.38867866788617e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38867866788617e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38867866788617e-05×40589641000000     		ar = 42739.3248556427m²