Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57645 / 85755
↖ ↑ ↗
← S 48.449244°
W 21.673279°		 ← 202.54 m → S 48.449244°
W 21.670532°		 →
↑
202.53 m
↓
↑
202.53 m
↓
S 48.451066°
W 21.673279°		 ← 202.53 m →
41 021 m²		 S 48.451066°
W 21.670532°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57645 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85755 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439800262451172 y=0.654262542724609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439800262451172 × 217)
    floor (0.439800262451172 × 131072)
    floor (57645.5)     		tx = 57645
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.654262542724609 × 217)
    floor (0.654262542724609 × 131072)
    floor (85755.5)     		ty = 85755
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57645 / 85755 ti = "17/57645/85755"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57645/85755.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57645 ÷ 217
    57645 ÷ 131072     		x = 0.439796447753906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85755 ÷ 217
    85755 ÷ 131072     		y = 0.654258728027344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439796447753906 × 2 - 1) × π
    -0.120407104492188 × 3.1415926535     		Λ = -0.37827007
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.654258728027344 × 2 - 1) × π
    -0.308517456054688 × 3.1415926535     		Φ = -0.969236173417915
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37827007} λ = -0.37827007}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.969236173417915))-π/2
    2×atan(0.379372702417288)-π/2
    2×0.362598750412644-π/2
    0.725197500825289-1.57079632675     		φ = -0.84559883
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37827007} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.673279°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84559883 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.449244°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57645 KachelY 85755 -0.37827007 -0.84559883 -21.673279 -48.449244
    Oben rechts KachelX + 1 57646 KachelY 85755 -0.37822214 -0.84559883 -21.670532 -48.449244
    Unten links KachelX 57645 KachelY + 1 85756 -0.37827007 -0.84563062 -21.673279 -48.451066
    Unten rechts KachelX + 1 57646 KachelY + 1 85756 -0.37822214 -0.84563062 -21.670532 -48.451066
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84559883--0.84563062) × R
    3.1789999999976e-05 × 6371000     		dl = 202.534089999847m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84559883--0.84563062) × R
    3.1789999999976e-05 × 6371000     		dr = 202.534089999847m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37827007--0.37822214) × cos(-0.84559883) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.663283255966415 × 6371000     		do = 202.541521507038m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37827007--0.37822214) × cos(-0.84563062) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.663259464998546 × 6371000     		du = 202.534256648794m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84559883)-sin(-0.84563062))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.663283255966415-0.663259464998546)×R²
    abs(-0.37822214--0.37827007)×2.37909678697523e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.37909678697523e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.37909678697523e-05×40589641000000     		ar = 41020.8270582172m²