Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57644 / 84908
↖ ↑ ↗
← S 46.882723°
W 21.676025°		 ← 208.76 m → S 46.882723°
W 21.673279°		 →
↑
208.71 m
↓
↑
208.71 m
↓
S 46.884600°
W 21.676025°		 ← 208.75 m →
43 570 m²		 S 46.884600°
W 21.673279°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57644 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84908 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439792633056641 y=0.647800445556641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439792633056641 × 217)
    floor (0.439792633056641 × 131072)
    floor (57644.5)     		tx = 57644
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.647800445556641 × 217)
    floor (0.647800445556641 × 131072)
    floor (84908.5)     		ty = 84908
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57644 / 84908 ti = "17/57644/84908"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57644/84908.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57644 ÷ 217
    57644 ÷ 131072     		x = 0.439788818359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84908 ÷ 217
    84908 ÷ 131072     		y = 0.647796630859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439788818359375 × 2 - 1) × π
    -0.12042236328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.37831801
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.647796630859375 × 2 - 1) × π
    -0.29559326171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.928633619439728
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37831801} λ = -0.37831801}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.928633619439728))-π/2
    2×atan(0.395093189374313)-π/2
    2×0.376269223988152-π/2
    0.752538447976304-1.57079632675     		φ = -0.81825788
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37831801} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.676025°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81825788 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.882723°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57644 KachelY 84908 -0.37831801 -0.81825788 -21.676025 -46.882723
    Oben rechts KachelX + 1 57645 KachelY 84908 -0.37827007 -0.81825788 -21.673279 -46.882723
    Unten links KachelX 57644 KachelY + 1 84909 -0.37831801 -0.81829064 -21.676025 -46.884600
    Unten rechts KachelX + 1 57645 KachelY + 1 84909 -0.37827007 -0.81829064 -21.673279 -46.884600
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81825788--0.81829064) × R
    3.2759999999965e-05 × 6371000     		dl = 208.713959999777m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81825788--0.81829064) × R
    3.2759999999965e-05 × 6371000     		dr = 208.713959999777m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37831801--0.37827007) × cos(-0.81825788) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.683493915151887 × 6371000     		do = 208.756634820625m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37831801--0.37827007) × cos(-0.81829064) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.683470001419695 × 6371000     		du = 208.749330951275m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81825788)-sin(-0.81829064))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.683493915151887-0.683470001419695)×R²
    abs(-0.37827007--0.37831801)×2.39137321913496e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39137321913496e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39137321913496e-05×40589641000000     		ar = 43569.6617239462m²