Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57643 / 84906
↖ ↑ ↗
← S 46.878968°
W 21.678772°		 ← 208.77 m → S 46.878968°
W 21.676025°		 →
↑
208.71 m
↓
↑
208.71 m
↓
S 46.880845°
W 21.678772°		 ← 208.76 m →
43 573 m²		 S 46.880845°
W 21.676025°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57643 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84906 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439785003662109 y=0.647785186767578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439785003662109 × 217)
    floor (0.439785003662109 × 131072)
    floor (57643.5)     		tx = 57643
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.647785186767578 × 217)
    floor (0.647785186767578 × 131072)
    floor (84906.5)     		ty = 84906
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57643 / 84906 ti = "17/57643/84906"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57643/84906.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57643 ÷ 217
    57643 ÷ 131072     		x = 0.439781188964844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84906 ÷ 217
    84906 ÷ 131072     		y = 0.647781372070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439781188964844 × 2 - 1) × π
    -0.120437622070312 × 3.1415926535     		Λ = -0.37836595
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.647781372070312 × 2 - 1) × π
    -0.295562744140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.928537745640488
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37836595} λ = -0.37836595}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.928537745640488))-π/2
    2×atan(0.395131070275297)-π/2
    2×0.376301989713891-π/2
    0.752603979427782-1.57079632675     		φ = -0.81819235
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37836595} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.678772°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81819235 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.878968°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57643 KachelY 84906 -0.37836595 -0.81819235 -21.678772 -46.878968
    Oben rechts KachelX + 1 57644 KachelY 84906 -0.37831801 -0.81819235 -21.676025 -46.878968
    Unten links KachelX 57643 KachelY + 1 84907 -0.37836595 -0.81822511 -21.678772 -46.880845
    Unten rechts KachelX + 1 57644 KachelY + 1 84907 -0.37831801 -0.81822511 -21.676025 -46.880845
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81819235--0.81822511) × R
    3.2759999999965e-05 × 6371000     		dl = 208.713959999777m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81819235--0.81822511) × R
    3.2759999999965e-05 × 6371000     		dr = 208.713959999777m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37836595--0.37831801) × cos(-0.81819235) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.683541747714745 × 6371000     		do = 208.771244116774m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37836595--0.37831801) × cos(-0.81822511) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.683517835449879 × 6371000     		du = 208.763940695582m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81819235)-sin(-0.81822511))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.683541747714745-0.683517835449879)×R²
    abs(-0.37831801--0.37836595)×2.39122648664214e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.39122648664214e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.39122648664214e-05×40589641000000     		ar = 43572.7109344397m²