Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57641 / 38254
↖ ↑ ↗
← N 59.737022°
W 21.684265°		 ← 153.89 m → N 59.737022°
W 21.681519°		 →
↑
153.92 m
↓
↑
153.92 m
↓
N 59.735638°
W 21.684265°		 ← 153.90 m →
23 688 m²		 N 59.735638°
W 21.681519°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57641 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38254 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439769744873047 y=0.291858673095703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439769744873047 × 217)
    floor (0.439769744873047 × 131072)
    floor (57641.5)     		tx = 57641
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.291858673095703 × 217)
    floor (0.291858673095703 × 131072)
    floor (38254.5)     		ty = 38254
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57641 / 38254 ti = "17/57641/38254"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57641/38254.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57641 ÷ 217
    57641 ÷ 131072     		x = 0.439765930175781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38254 ÷ 217
    38254 ÷ 131072     		y = 0.291854858398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439765930175781 × 2 - 1) × π
    -0.120468139648438 × 3.1415926535     		Λ = -0.37846182
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.291854858398438 × 2 - 1) × π
    0.416290283203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.30781449543437
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37846182} λ = -0.37846182}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.30781449543437))-π/2
    2×atan(3.69808269733664)-π/2
    2×1.30670202257057-π/2
    2.61340404514113-1.57079632675     		φ = 1.04260772
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37846182} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.684265°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04260772 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.737022°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57641 KachelY 38254 -0.37846182 1.04260772 -21.684265 59.737022
    Oben rechts KachelX + 1 57642 KachelY 38254 -0.37841389 1.04260772 -21.681519 59.737022
    Unten links KachelX 57641 KachelY + 1 38255 -0.37846182 1.04258356 -21.684265 59.735638
    Unten rechts KachelX + 1 57642 KachelY + 1 38255 -0.37841389 1.04258356 -21.681519 59.735638
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04260772-1.04258356) × R
    2.41599999999398e-05 × 6371000     		dl = 153.923359999616m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04260772-1.04258356) × R
    2.41599999999398e-05 × 6371000     		dr = 153.923359999616m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37846182--0.37841389) × cos(1.04260772) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.503969629830718 × 6371000     		do = 153.893189223551m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37846182--0.37841389) × cos(1.04258356) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.503990497192031 × 6371000     		du = 153.899561323362m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04260772)-sin(1.04258356))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.503969629830718-0.503990497192031)×R²
    abs(-0.37841389--0.37846182)×2.08673613131261e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.08673613131261e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.08673613131261e-05×40589641000000     		ar = 23688.2471750929m²