Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57640 / 86886
↖ ↑ ↗
← S 50.467994°
W 21.687012°		 ← 194.41 m → S 50.467994°
W 21.684265°		 →
↑
194.38 m
↓
↑
194.38 m
↓
S 50.469743°
W 21.687012°		 ← 194.40 m →
37 788 m²		 S 50.469743°
W 21.684265°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57640 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86886 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439762115478516 y=0.662891387939453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439762115478516 × 217)
    floor (0.439762115478516 × 131072)
    floor (57640.5)     		tx = 57640
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.662891387939453 × 217)
    floor (0.662891387939453 × 131072)
    floor (86886.5)     		ty = 86886
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57640 / 86886 ti = "17/57640/86886"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57640/86886.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57640 ÷ 217
    57640 ÷ 131072     		x = 0.43975830078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86886 ÷ 217
    86886 ÷ 131072     		y = 0.662887573242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43975830078125 × 2 - 1) × π
    -0.1204833984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.37850976
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.662887573242188 × 2 - 1) × π
    -0.325775146484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.0234528068882
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37850976} λ = -0.37850976}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.0234528068882))-π/2
    2×atan(0.35935202249199)-π/2
    2×0.344981827680386-π/2
    0.689963655360772-1.57079632675     		φ = -0.88083267
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37850976} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.687012°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88083267 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.467994°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57640 KachelY 86886 -0.37850976 -0.88083267 -21.687012 -50.467994
    Oben rechts KachelX + 1 57641 KachelY 86886 -0.37846182 -0.88083267 -21.684265 -50.467994
    Unten links KachelX 57640 KachelY + 1 86887 -0.37850976 -0.88086318 -21.687012 -50.469743
    Unten rechts KachelX + 1 57641 KachelY + 1 86887 -0.37846182 -0.88086318 -21.684265 -50.469743
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88083267--0.88086318) × R
    3.05099999999836e-05 × 6371000     		dl = 194.379209999896m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88083267--0.88086318) × R
    3.05099999999836e-05 × 6371000     		dr = 194.379209999896m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37850976--0.37846182) × cos(-0.88083267) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.636509152249488 × 6371000     		do = 194.406278842445m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37850976--0.37846182) × cos(-0.88086318) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.636485620531527 × 6371000     		du = 194.399091650073m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88083267)-sin(-0.88086318))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.636509152249488-0.636485620531527)×R²
    abs(-0.37846182--0.37850976)×2.35317179611005e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.35317179611005e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.35317179611005e-05×40589641000000     		ar = 37787.8403828012m²