Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57640 / 44391
↖ ↑ ↗
← N 50.108249°
W 21.687012°		 ← 195.88 m → N 50.108249°
W 21.684265°		 →
↑
195.84 m
↓
↑
195.84 m
↓
N 50.106488°
W 21.687012°		 ← 195.89 m →
38 363 m²		 N 50.106488°
W 21.684265°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57640 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44391 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439762115478516 y=0.338680267333984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439762115478516 × 217)
    floor (0.439762115478516 × 131072)
    floor (57640.5)     		tx = 57640
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.338680267333984 × 217)
    floor (0.338680267333984 × 131072)
    floor (44391.5)     		ty = 44391
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57640 / 44391 ti = "17/57640/44391"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57640/44391.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57640 ÷ 217
    57640 ÷ 131072     		x = 0.43975830078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44391 ÷ 217
    44391 ÷ 131072     		y = 0.338676452636719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43975830078125 × 2 - 1) × π
    -0.1204833984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.37850976
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.338676452636719 × 2 - 1) × π
    0.322647094726562 × 3.1415926535     		Φ = 1.01362574246609
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37850976} λ = -0.37850976}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01362574246609))-π/2
    2×atan(2.7555739258899)-π/2
    2×1.2226751293056-π/2
    2.4453502586112-1.57079632675     		φ = 0.87455393
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37850976} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.687012°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87455393 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.108249°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57640 KachelY 44391 -0.37850976 0.87455393 -21.687012 50.108249
    Oben rechts KachelX + 1 57641 KachelY 44391 -0.37846182 0.87455393 -21.684265 50.108249
    Unten links KachelX 57640 KachelY + 1 44392 -0.37850976 0.87452319 -21.687012 50.106488
    Unten rechts KachelX + 1 57641 KachelY + 1 44392 -0.37846182 0.87452319 -21.684265 50.106488
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87455393-0.87452319) × R
    3.07400000000291e-05 × 6371000     		dl = 195.844540000185m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87455393-0.87452319) × R
    3.07400000000291e-05 × 6371000     		dr = 195.844540000185m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37850976--0.37846182) × cos(0.87455393) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.641339172509735 × 6371000     		do = 195.881491354645m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37850976--0.37846182) × cos(0.87452319) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.641362757702155 × 6371000     		du = 195.888694879493m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87455393)-sin(0.87452319))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.641339172509735-0.641362757702155)×R²
    abs(-0.37846182--0.37850976)×2.35851924201835e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.35851924201835e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.35851924201835e-05×40589641000000     		ar = 38363.0259574505m²