Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57639 / 86885
↖ ↑ ↗
← S 50.466246°
W 21.689759°		 ← 194.41 m → S 50.466246°
W 21.687012°		 →
↑
194.38 m
↓
↑
194.38 m
↓
S 50.467994°
W 21.689759°		 ← 194.41 m →
37 789 m²		 S 50.467994°
W 21.687012°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57639 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86885 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439754486083984 y=0.662883758544922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439754486083984 × 217)
    floor (0.439754486083984 × 131072)
    floor (57639.5)     		tx = 57639
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.662883758544922 × 217)
    floor (0.662883758544922 × 131072)
    floor (86885.5)     		ty = 86885
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57639 / 86885 ti = "17/57639/86885"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57639/86885.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57639 ÷ 217
    57639 ÷ 131072     		x = 0.439750671386719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86885 ÷ 217
    86885 ÷ 131072     		y = 0.662879943847656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439750671386719 × 2 - 1) × π
    -0.120498657226562 × 3.1415926535     		Λ = -0.37855770
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.662879943847656 × 2 - 1) × π
    -0.325759887695312 × 3.1415926535     		Φ = -1.02340486998858
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37855770} λ = -0.37855770}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.02340486998858))-π/2
    2×atan(0.359369249126713)-π/2
    2×0.344997084100057-π/2
    0.689994168200114-1.57079632675     		φ = -0.88080216
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37855770} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.689759°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88080216 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.466246°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57639 KachelY 86885 -0.37855770 -0.88080216 -21.689759 -50.466246
    Oben rechts KachelX + 1 57640 KachelY 86885 -0.37850976 -0.88080216 -21.687012 -50.466246
    Unten links KachelX 57639 KachelY + 1 86886 -0.37855770 -0.88083267 -21.689759 -50.467994
    Unten rechts KachelX + 1 57640 KachelY + 1 86886 -0.37850976 -0.88083267 -21.687012 -50.467994
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88080216--0.88083267) × R
    3.05099999999836e-05 × 6371000     		dl = 194.379209999896m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88080216--0.88083267) × R
    3.05099999999836e-05 × 6371000     		dr = 194.379209999896m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37855770--0.37850976) × cos(-0.88080216) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.636532683374948 × 6371000     		do = 194.413465854077m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37855770--0.37850976) × cos(-0.88083267) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.636509152249488 × 6371000     		du = 194.40627884267m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88080216)-sin(-0.88083267))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.636532683374948-0.636509152249488)×R²
    abs(-0.37850976--0.37855770)×2.35311254601633e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.35311254601633e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.35311254601633e-05×40589641000000     		ar = 37789.237406303m²