Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57639 / 38221
↖ ↑ ↗
← N 59.782669°
W 21.689759°		 ← 153.72 m → N 59.782669°
W 21.687012°		 →
↑
153.67 m
↓
↑
153.67 m
↓
N 59.781287°
W 21.689759°		 ← 153.72 m →
23 622 m²		 N 59.781287°
W 21.687012°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57639 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38221 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439754486083984 y=0.291606903076172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439754486083984 × 217)
    floor (0.439754486083984 × 131072)
    floor (57639.5)     		tx = 57639
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.291606903076172 × 217)
    floor (0.291606903076172 × 131072)
    floor (38221.5)     		ty = 38221
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57639 / 38221 ti = "17/57639/38221"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57639/38221.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57639 ÷ 217
    57639 ÷ 131072     		x = 0.439750671386719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38221 ÷ 217
    38221 ÷ 131072     		y = 0.291603088378906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439750671386719 × 2 - 1) × π
    -0.120498657226562 × 3.1415926535     		Λ = -0.37855770
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.291603088378906 × 2 - 1) × π
    0.416793823242188 × 3.1415926535     		Φ = 1.30939641312183
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37855770} λ = -0.37855770}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.30939641312183))-π/2
    2×atan(3.70393738936476)-π/2
    2×1.30710036956528-π/2
    2.61420073913057-1.57079632675     		φ = 1.04340441
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37855770} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.689759°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04340441 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.782669°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57639 KachelY 38221 -0.37855770 1.04340441 -21.689759 59.782669
    Oben rechts KachelX + 1 57640 KachelY 38221 -0.37850976 1.04340441 -21.687012 59.782669
    Unten links KachelX 57639 KachelY + 1 38222 -0.37855770 1.04338029 -21.689759 59.781287
    Unten rechts KachelX + 1 57640 KachelY + 1 38222 -0.37850976 1.04338029 -21.687012 59.781287
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04340441-1.04338029) × R
    2.41199999999608e-05 × 6371000     		dl = 153.668519999751m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04340441-1.04338029) × R
    2.41199999999608e-05 × 6371000     		dr = 153.668519999751m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37855770--0.37850976) × cos(1.04340441) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.503281351783397 × 6371000     		do = 153.715079296721m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37855770--0.37850976) × cos(1.04338029) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.503302194274292 × 6371000     		du = 153.721445129927m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04340441)-sin(1.04338029))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.503281351783397-0.503302194274292)×R²
    abs(-0.37850976--0.37855770)×2.08424908948457e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.08424908948457e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.08424908948457e-05×40589641000000     		ar = 23621.6578524649m²