Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57637 / 86877
↖ ↑ ↗
← S 50.452258°
W 21.695251°		 ← 194.47 m → S 50.452258°
W 21.692505°		 →
↑
194.44 m
↓
↑
194.44 m
↓
S 50.454007°
W 21.695251°		 ← 194.46 m →
37 813 m²		 S 50.454007°
W 21.692505°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57637 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86877 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439739227294922 y=0.662822723388672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439739227294922 × 217)
    floor (0.439739227294922 × 131072)
    floor (57637.5)     		tx = 57637
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.662822723388672 × 217)
    floor (0.662822723388672 × 131072)
    floor (86877.5)     		ty = 86877
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57637 / 86877 ti = "17/57637/86877"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57637/86877.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57637 ÷ 217
    57637 ÷ 131072     		x = 0.439735412597656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86877 ÷ 217
    86877 ÷ 131072     		y = 0.662818908691406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439735412597656 × 2 - 1) × π
    -0.120529174804688 × 3.1415926535     		Λ = -0.37865357
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.662818908691406 × 2 - 1) × π
    -0.325637817382812 × 3.1415926535     		Φ = -1.02302137479162
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37865357} λ = -0.37865357}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.02302137479162))-π/2
    2×atan(0.359507091937027)-π/2
    2×0.345119155764156-π/2
    0.690238311528312-1.57079632675     		φ = -0.88055802
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37865357} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.695251°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88055802 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.452258°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57637 KachelY 86877 -0.37865357 -0.88055802 -21.695251 -50.452258
    Oben rechts KachelX + 1 57638 KachelY 86877 -0.37860563 -0.88055802 -21.692505 -50.452258
    Unten links KachelX 57637 KachelY + 1 86878 -0.37865357 -0.88058854 -21.695251 -50.454007
    Unten rechts KachelX + 1 57638 KachelY + 1 86878 -0.37860563 -0.88058854 -21.692505 -50.454007
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88055802--0.88058854) × R
    3.05199999999228e-05 × 6371000     		dl = 194.442919999508m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88055802--0.88058854) × R
    3.05199999999228e-05 × 6371000     		dr = 194.442919999508m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37865357--0.37860563) × cos(-0.88055802) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.636720957311625 × 6371000     		do = 194.470969560284m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37865357--0.37860563) × cos(-0.88058854) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.636697423216989 × 6371000     		du = 194.463781642015m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88055802)-sin(-0.88058854))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.636720957311625-0.636697423216989)×R²
    abs(-0.37860563--0.37865357)×2.35340946355134e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.35340946355134e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.35340946355134e-05×40589641000000     		ar = 37812.8043594412m²