Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 57636 / 84293
↖ ↑ ↗
← S 45.715768°
W 21.697998°		 ← 213.25 m → S 45.715768°
W 21.695251°		 →
↑
213.24 m
↓
↑
213.24 m
↓
S 45.717686°
W 21.697998°		 ← 213.25 m →
45 473 m²		 S 45.717686°
W 21.695251°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57636 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84293 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439731597900391 y=0.643108367919922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439731597900391 × 217)
    floor (0.439731597900391 × 131072)
    floor (57636.5)     		tx = 57636
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.643108367919922 × 217)
    floor (0.643108367919922 × 131072)
    floor (84293.5)     		ty = 84293
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57636 / 84293 ti = "17/57636/84293"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57636/84293.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57636 ÷ 217
    57636 ÷ 131072     		x = 0.439727783203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84293 ÷ 217
    84293 ÷ 131072     		y = 0.643104553222656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439727783203125 × 2 - 1) × π
    -0.12054443359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.37870151
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.643104553222656 × 2 - 1) × π
    -0.286209106445312 × 3.1415926535     		Φ = -0.899152426173393
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37870151} λ = -0.37870151}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.899152426173393))-π/2
    2×atan(0.406914403620194)-π/2
    2×0.386452821659505-π/2
    0.77290564331901-1.57079632675     		φ = -0.79789068
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37870151} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.697998°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79789068 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.715768°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57636 KachelY 84293 -0.37870151 -0.79789068 -21.697998 -45.715768
    Oben rechts KachelX + 1 57637 KachelY 84293 -0.37865357 -0.79789068 -21.695251 -45.715768
    Unten links KachelX 57636 KachelY + 1 84294 -0.37870151 -0.79792415 -21.697998 -45.717686
    Unten rechts KachelX + 1 57637 KachelY + 1 84294 -0.37865357 -0.79792415 -21.695251 -45.717686
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79789068--0.79792415) × R
    3.34700000000909e-05 × 6371000     		dl = 213.237370000579m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79789068--0.79792415) × R
    3.34700000000909e-05 × 6371000     		dr = 213.237370000579m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37870151--0.37865357) × cos(-0.79789068) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.698218291870853 × 6371000     		do = 213.253838476298m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37870151--0.37865357) × cos(-0.79792415) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.698194330811541 × 6371000     		du = 213.246520152027m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79789068)-sin(-0.79792415))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.698218291870853-0.698194330811541)×R²
    abs(-0.37865357--0.37870151)×2.39610593125716e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.39610593125716e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.39610593125716e-05×40589641000000     		ar = 45472.9073934936m²