Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57635 / 85764
↖ ↑ ↗
← S 48.465637°
W 21.700744°		 ← 202.48 m → S 48.465637°
W 21.697998°		 →
↑
202.53 m
↓
↑
202.53 m
↓
S 48.467458°
W 21.700744°		 ← 202.47 m →
41 008 m²		 S 48.467458°
W 21.697998°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57635 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85764 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439723968505859 y=0.654331207275391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439723968505859 × 217)
    floor (0.439723968505859 × 131072)
    floor (57635.5)     		tx = 57635
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.654331207275391 × 217)
    floor (0.654331207275391 × 131072)
    floor (85764.5)     		ty = 85764
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57635 / 85764 ti = "17/57635/85764"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57635/85764.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57635 ÷ 217
    57635 ÷ 131072     		x = 0.439720153808594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85764 ÷ 217
    85764 ÷ 131072     		y = 0.654327392578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439720153808594 × 2 - 1) × π
    -0.120559692382812 × 3.1415926535     		Λ = -0.37874944
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.654327392578125 × 2 - 1) × π
    -0.30865478515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.969667605514496
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37874944} λ = -0.37874944}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.969667605514496))-π/2
    2×atan(0.379209064158835)-π/2
    2×0.362455692666854-π/2
    0.724911385333707-1.57079632675     		φ = -0.84588494
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37874944} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.700744°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84588494 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.465637°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57635 KachelY 85764 -0.37874944 -0.84588494 -21.700744 -48.465637
    Oben rechts KachelX + 1 57636 KachelY 85764 -0.37870151 -0.84588494 -21.697998 -48.465637
    Unten links KachelX 57635 KachelY + 1 85765 -0.37874944 -0.84591673 -21.700744 -48.467458
    Unten rechts KachelX + 1 57636 KachelY + 1 85765 -0.37870151 -0.84591673 -21.697998 -48.467458
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84588494--0.84591673) × R
    3.1789999999976e-05 × 6371000     		dl = 202.534089999847m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84588494--0.84591673) × R
    3.1789999999976e-05 × 6371000     		dr = 202.534089999847m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37874944--0.37870151) × cos(-0.84588494) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.663069113127069 × 6371000     		do = 202.476130414671m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37874944--0.37870151) × cos(-0.84591673) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.66304531612743 × 6371000     		du = 202.468863714553m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84588494)-sin(-0.84591673))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.663069113127069-0.66304531612743)×R²
    abs(-0.37870151--0.37874944)×2.37969996387255e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.37969996387255e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.37969996387255e-05×40589641000000     		ar = 41007.5829463058m²