Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57630 / 85130
↖ ↑ ↗
← S 47.297859°
W 21.714478°		 ← 207.14 m → S 47.297859°
W 21.711731°		 →
↑
207.12 m
↓
↑
207.12 m
↓
S 47.299722°
W 21.714478°		 ← 207.13 m →
42 901 m²		 S 47.299722°
W 21.711731°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57630 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85130 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439685821533203 y=0.649494171142578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439685821533203 × 217)
    floor (0.439685821533203 × 131072)
    floor (57630.5)     		tx = 57630
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.649494171142578 × 217)
    floor (0.649494171142578 × 131072)
    floor (85130.5)     		ty = 85130
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57630 / 85130 ti = "17/57630/85130"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57630/85130.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57630 ÷ 217
    57630 ÷ 131072     		x = 0.439682006835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85130 ÷ 217
    85130 ÷ 131072     		y = 0.649490356445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439682006835938 × 2 - 1) × π
    -0.120635986328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.37898913
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.649490356445312 × 2 - 1) × π
    -0.298980712890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.93927561115538
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37898913} λ = -0.37898913}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.93927561115538))-π/2
    2×atan(0.390910904318473)-π/2
    2×0.372646476883024-π/2
    0.745292953766048-1.57079632675     		φ = -0.82550337
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37898913} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.714478°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82550337 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.297859°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57630 KachelY 85130 -0.37898913 -0.82550337 -21.714478 -47.297859
    Oben rechts KachelX + 1 57631 KachelY 85130 -0.37894119 -0.82550337 -21.711731 -47.297859
    Unten links KachelX 57630 KachelY + 1 85131 -0.37898913 -0.82553588 -21.714478 -47.299722
    Unten rechts KachelX + 1 57631 KachelY + 1 85131 -0.37894119 -0.82553588 -21.711731 -47.299722
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82550337--0.82553588) × R
    3.25100000000411e-05 × 6371000     		dl = 207.121210000262m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82550337--0.82553588) × R
    3.25100000000411e-05 × 6371000     		dr = 207.121210000262m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37898913--0.37894119) × cos(-0.82550337) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.678187130355465 × 6371000     		do = 207.135806147398m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37898913--0.37894119) × cos(-0.82553588) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.67816323874742 × 6371000     		du = 207.128509035332m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82550337)-sin(-0.82553588))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.678187130355465-0.67816323874742)×R²
    abs(-0.37894119--0.37898913)×2.38916080440577e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.38916080440577e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.38916080440577e-05×40589641000000     		ar = 42901.4631142037m²