Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57629 / 84778
↖ ↑ ↗
← S 46.638122°
W 21.717224°		 ← 209.71 m → S 46.638122°
W 21.714478°		 →
↑
209.73 m
↓
↑
209.73 m
↓
S 46.640008°
W 21.717224°		 ← 209.70 m →
43 982 m²		 S 46.640008°
W 21.714478°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57629 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84778 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439678192138672 y=0.646808624267578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439678192138672 × 217)
    floor (0.439678192138672 × 131072)
    floor (57629.5)     		tx = 57629
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.646808624267578 × 217)
    floor (0.646808624267578 × 131072)
    floor (84778.5)     		ty = 84778
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57629 / 84778 ti = "17/57629/84778"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57629/84778.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57629 ÷ 217
    57629 ÷ 131072     		x = 0.439674377441406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84778 ÷ 217
    84778 ÷ 131072     		y = 0.646804809570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439674377441406 × 2 - 1) × π
    -0.120651245117188 × 3.1415926535     		Λ = -0.37903707
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.646804809570312 × 2 - 1) × π
    -0.293609619140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.922401822489121
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37903707} λ = -0.37903707}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.922401822489121))-π/2
    2×atan(0.397563017648178)-π/2
    2×0.378403766448074-π/2
    0.756807532896148-1.57079632675     		φ = -0.81398879
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37903707} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.717224°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81398879 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.638122°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57629 KachelY 84778 -0.37903707 -0.81398879 -21.717224 -46.638122
    Oben rechts KachelX + 1 57630 KachelY 84778 -0.37898913 -0.81398879 -21.714478 -46.638122
    Unten links KachelX 57629 KachelY + 1 84779 -0.37903707 -0.81402171 -21.717224 -46.640008
    Unten rechts KachelX + 1 57630 KachelY + 1 84779 -0.37898913 -0.81402171 -21.714478 -46.640008
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81398879--0.81402171) × R
    3.29199999999918e-05 × 6371000     		dl = 209.733319999948m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81398879--0.81402171) × R
    3.29199999999918e-05 × 6371000     		dr = 209.733319999948m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37903707--0.37898913) × cos(-0.81398879) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.686603926068039 × 6371000     		do = 209.706512206099m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37903707--0.37898913) × cos(-0.81402171) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.686579991813432 × 6371000     		du = 209.699202068674m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81398879)-sin(-0.81402171))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.686603926068039-0.686579991813432)×R²
    abs(-0.37898913--0.37903707)×2.39342546067833e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39342546067833e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39342546067833e-05×40589641000000     		ar = 43981.676444876m²