Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57629 / 84517
↖ ↑ ↗
← S 46.143686°
W 21.717224°		 ← 211.61 m → S 46.143686°
W 21.714478°		 →
↑
211.58 m
↓
↑
211.58 m
↓
S 46.145589°
W 21.717224°		 ← 211.61 m →
44 773 m²		 S 46.145589°
W 21.714478°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57629 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84517 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439678192138672 y=0.644817352294922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439678192138672 × 217)
    floor (0.439678192138672 × 131072)
    floor (57629.5)     		tx = 57629
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.644817352294922 × 217)
    floor (0.644817352294922 × 131072)
    floor (84517.5)     		ty = 84517
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57629 / 84517 ti = "17/57629/84517"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57629/84517.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57629 ÷ 217
    57629 ÷ 131072     		x = 0.439674377441406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84517 ÷ 217
    84517 ÷ 131072     		y = 0.644813537597656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439674377441406 × 2 - 1) × π
    -0.120651245117188 × 3.1415926535     		Λ = -0.37903707
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.644813537597656 × 2 - 1) × π
    -0.289627075195312 × 3.1415926535     		Φ = -0.909890291688286
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37903707} λ = -0.37903707}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.909890291688286))-π/2
    2×atan(0.402568386709141)-π/2
    2×0.38271854076998-π/2
    0.765437081539961-1.57079632675     		φ = -0.80535925
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37903707} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.717224°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80535925 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.143686°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57629 KachelY 84517 -0.37903707 -0.80535925 -21.717224 -46.143686
    Oben rechts KachelX + 1 57630 KachelY 84517 -0.37898913 -0.80535925 -21.714478 -46.143686
    Unten links KachelX 57629 KachelY + 1 84518 -0.37903707 -0.80539246 -21.717224 -46.145589
    Unten rechts KachelX + 1 57630 KachelY + 1 84518 -0.37898913 -0.80539246 -21.714478 -46.145589
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80535925--0.80539246) × R
    3.32100000000057e-05 × 6371000     		dl = 211.580910000037m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80535925--0.80539246) × R
    3.32100000000057e-05 × 6371000     		dr = 211.580910000037m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37903707--0.37898913) × cos(-0.80535925) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.692852231892255 × 6371000     		do = 211.614905636205m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37903707--0.37898913) × cos(-0.80539246) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.692828284456778 × 6371000     		du = 211.607591473003m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80535925)-sin(-0.80539246))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.692852231892255-0.692828284456778)×R²
    abs(-0.37898913--0.37903707)×2.39474354765123e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39474354765123e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39474354765123e-05×40589641000000     		ar = 44772.9005393594m²