Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57628 / 38236
↖ ↑ ↗
← N 59.761928°
W 21.719971°		 ← 153.78 m → N 59.761928°
W 21.717224°		 →
↑
153.80 m
↓
↑
153.80 m
↓
N 59.760545°
W 21.719971°		 ← 153.78 m →
23 651 m²		 N 59.760545°
W 21.717224°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57628 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38236 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439670562744141 y=0.291721343994141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439670562744141 × 217)
    floor (0.439670562744141 × 131072)
    floor (57628.5)     		tx = 57628
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.291721343994141 × 217)
    floor (0.291721343994141 × 131072)
    floor (38236.5)     		ty = 38236
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57628 / 38236 ti = "17/57628/38236"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57628/38236.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57628 ÷ 217
    57628 ÷ 131072     		x = 0.439666748046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38236 ÷ 217
    38236 ÷ 131072     		y = 0.291717529296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439666748046875 × 2 - 1) × π
    -0.12066650390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.37908500
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.291717529296875 × 2 - 1) × π
    0.41656494140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.30867735962753
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37908500} λ = -0.37908500}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.30867735962753))-π/2
    2×atan(3.70127501755086)-π/2
    2×1.30691937023647-π/2
    2.61383874047295-1.57079632675     		φ = 1.04304241
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37908500} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.719971°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04304241 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.761928°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57628 KachelY 38236 -0.37908500 1.04304241 -21.719971 59.761928
    Oben rechts KachelX + 1 57629 KachelY 38236 -0.37903707 1.04304241 -21.717224 59.761928
    Unten links KachelX 57628 KachelY + 1 38237 -0.37908500 1.04301827 -21.719971 59.760545
    Unten rechts KachelX + 1 57629 KachelY + 1 38237 -0.37903707 1.04301827 -21.717224 59.760545
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04304241-1.04301827) × R
    2.41400000000613e-05 × 6371000     		dl = 153.795940000391m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04304241-1.04301827) × R
    2.41400000000613e-05 × 6371000     		dr = 153.795940000391m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37908500--0.37903707) × cos(1.04304241) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.503594131184512 × 6371000     		do = 153.778526194683m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37908500--0.37903707) × cos(1.04301827) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.503614986558144 × 6371000     		du = 153.784894633912m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04304241)-sin(1.04301827))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.503594131184512-0.503614986558144)×R²
    abs(-0.37903707--0.37908500)×2.0855373631834e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.0855373631834e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.0855373631834e-05×40589641000000     		ar = 23651.002709178m²