Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57627 / 84665
↖ ↑ ↗
← S 46.424606°
W 21.722717°		 ← 210.53 m → S 46.424606°
W 21.719971°		 →
↑
210.50 m
↓
↑
210.50 m
↓
S 46.426499°
W 21.722717°		 ← 210.53 m →
44 316 m²		 S 46.426499°
W 21.719971°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57627 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84665 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439662933349609 y=0.645946502685547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439662933349609 × 217)
    floor (0.439662933349609 × 131072)
    floor (57627.5)     		tx = 57627
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.645946502685547 × 217)
    floor (0.645946502685547 × 131072)
    floor (84665.5)     		ty = 84665
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57627 / 84665 ti = "17/57627/84665"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57627/84665.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57627 ÷ 217
    57627 ÷ 131072     		x = 0.439659118652344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84665 ÷ 217
    84665 ÷ 131072     		y = 0.645942687988281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439659118652344 × 2 - 1) × π
    -0.120681762695312 × 3.1415926535     		Λ = -0.37913294
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.645942687988281 × 2 - 1) × π
    -0.291885375976562 × 3.1415926535     		Φ = -0.916984952832054
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37913294} λ = -0.37913294}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.916984952832054))-π/2
    2×atan(0.399722407983087)-π/2
    2×0.380267050745426-π/2
    0.760534101490853-1.57079632675     		φ = -0.81026223
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37913294} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.722717°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81026223 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.424606°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57627 KachelY 84665 -0.37913294 -0.81026223 -21.722717 -46.424606
    Oben rechts KachelX + 1 57628 KachelY 84665 -0.37908500 -0.81026223 -21.719971 -46.424606
    Unten links KachelX 57627 KachelY + 1 84666 -0.37913294 -0.81029527 -21.722717 -46.426499
    Unten rechts KachelX + 1 57628 KachelY + 1 84666 -0.37908500 -0.81029527 -21.719971 -46.426499
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81026223--0.81029527) × R
    3.30400000000397e-05 × 6371000     		dl = 210.497840000253m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81026223--0.81029527) × R
    3.30400000000397e-05 × 6371000     		dr = 210.497840000253m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37913294--0.37908500) × cos(-0.81026223) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.689308479421656 × 6371000     		do = 210.532552415496m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37913294--0.37908500) × cos(-0.81029527) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.689284542624134 × 6371000     		du = 210.5252415014m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81026223)-sin(-0.81029527))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.689308479421656-0.689284542624134)×R²
    abs(-0.37908500--0.37913294)×2.3936797521884e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.3936797521884e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.3936797521884e-05×40589641000000     		ar = 44315.8780713567m²