Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57626 / 84779
↖ ↑ ↗
← S 46.640008°
W 21.725464°		 ← 209.70 m → S 46.640008°
W 21.722717°		 →
↑
209.67 m
↓
↑
209.67 m
↓
S 46.641894°
W 21.725464°		 ← 209.69 m →
43 967 m²		 S 46.641894°
W 21.722717°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57626 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84779 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439655303955078 y=0.646816253662109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439655303955078 × 217)
    floor (0.439655303955078 × 131072)
    floor (57626.5)     		tx = 57626
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.646816253662109 × 217)
    floor (0.646816253662109 × 131072)
    floor (84779.5)     		ty = 84779
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57626 / 84779 ti = "17/57626/84779"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57626/84779.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57626 ÷ 217
    57626 ÷ 131072     		x = 0.439651489257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84779 ÷ 217
    84779 ÷ 131072     		y = 0.646812438964844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439651489257812 × 2 - 1) × π
    -0.120697021484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.37918088
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.646812438964844 × 2 - 1) × π
    -0.293624877929688 × 3.1415926535     		Φ = -0.922449759388741
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37918088} λ = -0.37918088}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.922449759388741))-π/2
    2×atan(0.39754396016649)-π/2
    2×0.378387309903174-π/2
    0.756774619806349-1.57079632675     		φ = -0.81402171
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37918088} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.725464°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81402171 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.640008°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57626 KachelY 84779 -0.37918088 -0.81402171 -21.725464 -46.640008
    Oben rechts KachelX + 1 57627 KachelY 84779 -0.37913294 -0.81402171 -21.722717 -46.640008
    Unten links KachelX 57626 KachelY + 1 84780 -0.37918088 -0.81405462 -21.725464 -46.641894
    Unten rechts KachelX + 1 57627 KachelY + 1 84780 -0.37913294 -0.81405462 -21.722717 -46.641894
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81402171--0.81405462) × R
    3.29099999999416e-05 × 6371000     		dl = 209.669609999628m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81402171--0.81405462) × R
    3.29099999999416e-05 × 6371000     		dr = 209.669609999628m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37918088--0.37913294) × cos(-0.81402171) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.686579991813432 × 6371000     		do = 209.699202068917m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37918088--0.37913294) × cos(-0.81405462) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.686556064085529 × 6371000     		du = 209.691893924915m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81402171)-sin(-0.81405462))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.686579991813432-0.686556064085529)×R²
    abs(-0.37913294--0.37918088)×2.39277279028283e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.39277279028283e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.39277279028283e-05×40589641000000     		ar = 43966.7837712199m²