Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57625 / 84727
↖ ↑ ↗
← S 46.541861°
W 21.728210°		 ← 210.04 m → S 46.541861°
W 21.725464°		 →
↑
210.05 m
↓
↑
210.05 m
↓
S 46.543750°
W 21.728210°		 ← 210.03 m →
44 118 m²		 S 46.543750°
W 21.725464°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57625 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84727 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439647674560547 y=0.646419525146484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439647674560547 × 217)
    floor (0.439647674560547 × 131072)
    floor (57625.5)     		tx = 57625
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.646419525146484 × 217)
    floor (0.646419525146484 × 131072)
    floor (84727.5)     		ty = 84727
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57625 / 84727 ti = "17/57625/84727"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57625/84727.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57625 ÷ 217
    57625 ÷ 131072     		x = 0.439643859863281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84727 ÷ 217
    84727 ÷ 131072     		y = 0.646415710449219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439643859863281 × 2 - 1) × π
    -0.120712280273438 × 3.1415926535     		Λ = -0.37922881
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.646415710449219 × 2 - 1) × π
    -0.292831420898438 × 3.1415926535     		Φ = -0.919957040608498
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37922881} λ = -0.37922881}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.919957040608498))-π/2
    2×atan(0.398536161587762)-π/2
    2×0.37924381080923-π/2
    0.758487621618459-1.57079632675     		φ = -0.81230871
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37922881} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.728210°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81230871 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.541861°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57625 KachelY 84727 -0.37922881 -0.81230871 -21.728210 -46.541861
    Oben rechts KachelX + 1 57626 KachelY 84727 -0.37918088 -0.81230871 -21.725464 -46.541861
    Unten links KachelX 57625 KachelY + 1 84728 -0.37922881 -0.81234168 -21.728210 -46.543750
    Unten rechts KachelX + 1 57626 KachelY + 1 84728 -0.37918088 -0.81234168 -21.725464 -46.543750
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81230871--0.81234168) × R
    3.296999999991e-05 × 6371000     		dl = 210.051869999427m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81230871--0.81234168) × R
    3.296999999991e-05 × 6371000     		dr = 210.051869999427m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37922881--0.37918088) × cos(-0.81230871) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.687824427833474 × 6371000     		do = 210.035463566947m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37922881--0.37918088) × cos(-0.81234168) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.68780049529183 × 6371000     		du = 210.028155477447m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81230871)-sin(-0.81234168))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.687824427833474-0.68780049529183)×R²
    abs(-0.37918088--0.37922881)×2.39325416445668e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39325416445668e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39325416445668e-05×40589641000000     		ar = 44117.574353619m²