Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57624 / 44136
↖ ↑ ↗
← N 50.555325°
W 21.730957°		 ← 194.05 m → N 50.555325°
W 21.728210°		 →
↑
194.06 m
↓
↑
194.06 m
↓
N 50.553580°
W 21.730957°		 ← 194.05 m →
37 658 m²		 N 50.553580°
W 21.728210°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57624 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44136 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439640045166016 y=0.336734771728516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439640045166016 × 217)
    floor (0.439640045166016 × 131072)
    floor (57624.5)     		tx = 57624
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.336734771728516 × 217)
    floor (0.336734771728516 × 131072)
    floor (44136.5)     		ty = 44136
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57624 / 44136 ti = "17/57624/44136"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57624/44136.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57624 ÷ 217
    57624 ÷ 131072     		x = 0.43963623046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44136 ÷ 217
    44136 ÷ 131072     		y = 0.33673095703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43963623046875 × 2 - 1) × π
    -0.1207275390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.37927675
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33673095703125 × 2 - 1) × π
    0.3265380859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.0258496518692
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37927675} λ = -0.37927675}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0258496518692))-π/2
    2×atan(2.78946452773222)-π/2
    2×1.22657660106849-π/2
    2.45315320213698-1.57079632675     		φ = 0.88235688
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37927675} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.730957°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88235688 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.555325°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57624 KachelY 44136 -0.37927675 0.88235688 -21.730957 50.555325
    Oben rechts KachelX + 1 57625 KachelY 44136 -0.37922881 0.88235688 -21.728210 50.555325
    Unten links KachelX 57624 KachelY + 1 44137 -0.37927675 0.88232642 -21.730957 50.553580
    Unten rechts KachelX + 1 57625 KachelY + 1 44137 -0.37922881 0.88232642 -21.728210 50.553580
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88235688-0.88232642) × R
    3.04600000000654e-05 × 6371000     		dl = 194.060660000417m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88235688-0.88232642) × R
    3.04600000000654e-05 × 6371000     		dr = 194.060660000417m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37927675--0.37922881) × cos(0.88235688) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.63533283718214 × 6371000     		do = 194.047001942527m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37927675--0.37922881) × cos(0.88232642) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.635356359269846 × 6371000     		du = 194.054186193571m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88235688)-sin(0.88232642))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.63533283718214-0.635356359269846)×R²
    abs(-0.37922881--0.37927675)×2.35220877060627e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.35220877060627e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.35220877060627e-05×40589641000000     		ar = 37657.5863611536m²